El señor del Censo

Prof. Maximino Rosado Soto

del libro de Paenza, Adrián    Matemática para todos - 1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.      ISBN 978-950-07-4039-5

El señor del censo

     Haga de cuenta que el corriente es uno de los años en los que cada país censa a sus habitantes. No importa en qué lugar del mundo esté, los censos suelen suceder cada diez años. El siguiente problema es —obviamente— ficticio, pero requiere de prestar atención a la forma en la que está planteado para poder encontrar la respuesta. En principio, parecería que no hay suficientes datos, pero créame, no es así. Acá va. Imagine conmigo esta historia: “el señor del censo” golpea la puerta en una casa y desde adentro contesta una señora que lo hace pasar. La dueña de casa le ofrece un café. El señor va preguntando y tomando nota de las respuestas mientras llena el formulario “tipo”. Llega un momento en que le pregunta a la señora: ¿cuántos hijos tiene usted?
—Tengo tres hijas —contesta la mujer.
—¿De qué edades? —insiste el señor del censo.
—Vea, si consideramos números enteros, el producto de las edades resulta ser 36
—vuelve a decir la señora.
—Entiendo —dice el censista —, pero todavía no puedo deducir las edades.
— Mire, me acabo de dar cuenta de que aunque le dijera la suma de las edades, usted tampoco podría deducirlo —insiste la mujer.
— Bueno, en ese caso le pido que por favor me diga algo más —dice el señor.
— En ese caso puedo agregarle que a Elena, mi hija mayor, le gustan mucho los canarios —termina diciendo la señora.
— Ahora sí —concluye el “señor del censo”—, ahora ya sé las edades.

     ¿Qué pasó? ¿Por qué ahora sí puede deducir las edades? Le propongo que antes de darse por vencido, se tome un rato y piense. Analice las posibilidades y no se someta (al menos no tan rápido) a la tentación de decir: “faltan datos”. Si me puedo permitir sugerirle algo, entreténgase con el problema tanto como pueda. Y disfrútelo. La solución está acá nomás.
Solución
Como las tres edades son números enteros, y el producto es 36, veamos cuáles son todas las posibilidades para las edades de los hijas. El número 36 puede descomponerse como producto de tres números de varias maneras. Acá está la lista completa:
36 = 1 x 1 x 36
36 = 2 x 2 x 9
36 = 2 x 3 x 6
36 = 1 x 6 x 6
36 = 3 x 3 x 4
36 = 1 x 2 x 18
36 = 1 x 4 x 9
36 = 1 x 3 x 12

Es decir, hay ocho posibles combinaciones de edades entre las tres niñas. Ahora bien: en un momento de la charla, la señora le dice al censista que “aunque le diga la suma de las edades usted tampoco podría deducirlo”. Calculemos entonces las sumas de las ocho combinaciones que escribí:
1 + 1 + 36 = 38
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
1 + 6 + 6 = 13
3 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 18 = 21
1 + 4 + 9 = 14
1 + 3 + 12 = 16

     Como se ve en esta lista, hay solamente dos sumas que se repiten, y son las ternas de números que suman 13. O sea, cuando la señora le dice al “señor del censo” que aunque le dijera la suma de las edades él no podría deducirlo, le está dando un dato extra. Por ejemplo, si ella le dijera que la suma es 38, el censista ya sabría que las edades son (1, 1, 36). O si le dijera que la suma es 11, las edades serían (2, 3, 6). Por lo tanto, las únicas dos ternas en las que la suma es igual o se repiten son:
(2, 2, 9) y (1, 6, 6).

     Ya sabemos, entonces, que tiene que ser alguna de las dos ternas. Sí, pero ¿cuál? Y acá es donde apelamos a un dato que pareciera irrelevante cuando la señora lo dijo (¿quiere volver para atrás usted y releer cada frase?). Cuando la mujer dice que a Elena, la hija mayor, le gustan los canarios, quiere decir que hay una hija mayor. O sea, hay una de las tres hermanas que es la mayor de todas. Si uno revisa las dos ternas, de las dos, la única que tiene esa propiedad es la terna (2, 2, 9) (Elena tiene 9 años entonces). La otra terna (1, 6, 6), no tiene una “hija mayor”. Eso termina por resolver el problema. Lo que parecía inocente (una vez más, parece inocente, porque es inocente) y que le faltaban datos, sin embargo, termina siendo accesible y resoluble.