Los números primos, compuestos y factorización.

Los números primos, compuestos y factorización

    En la teoría de números uno de los conceptos importantes es tener bien claro la divisibilidad.

El concepto de la divisibilidad debemos tenerlo claro para poder saber si un número es divisible entre otro, ya que en muchas ocasiones nos facilita la factorización de un número natural. Decimos entonces que un número natural es divisible entre otros si, al dividir el primero entre el segundo, se obtiene un residuo de cero (0). El conocer ciertas reglas de divisibilidad te ayudarán a comprender mejor los números primos, compuestos y la factorización.

Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad

El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un número entero cualquiera n:

• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,

• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,

• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es

impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el

número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),

• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5, 
* Para determinar si un número es divisible por 7,saca el último dígito del número, duplícalo y réstalo del número restante. Si este resultado es exactamente divisible por 7 (ej, 14, 7 , 0 , -7, etc.) entonces el número es divisible por 7. Puede ser que necesites repetir esto varias veces. 
310 - saca el ultimo dígito del número que es el 1
-2 - dobla el dígito separado y réstalo
-------
308 - repite el proceso sacando el 8
-16 - y doblálo para obtener 16 y réstalo
------
14 - el resultado es 14 que es un múltiplo de 7  

• es divisible entre 8 si y sólo si  el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,

• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,

• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,

• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras

en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).

     Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque

sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar

(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161 sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).

Factorización en primos

La descomposición en factores primos de un entero n, también llamada factorización en primos o

simplemente factorización, consiste en expresar n como producto de números primos; como ya hemos dicho, esta forma de expresarlo es única salvo el orden de los factores primos. Para números

relativamente pequeños, esta factorización suele ser sencilla, por ejemplo 12=22×3, 56=23×7, o 51=3×17.  Para números más grandes, como 123761232, la tarea empieza a ser más complicada, de entrada porque, ¿cómo sabemos qué factores primos tiene 123761232? ¿Y si 123761232 fuera él mismo un número primo?  Yendo por partes, vemos en primer lugar que 123761232 no puede ser primo; de hecho, aplicando las reglas de la división vemos que es divisible por 2 y por 9, pero ni por 5 ni por 11. Podemos en primer lugar simplificar el problema, “sacando” todos los factores de 2 que podamos, dividiendo sucesivamente por 2 mientras se pueda, añadiendo 1 al exponente de 2 en la factorización del número por cada division que podemos hacer; otro tanto haríamos con el 3.

Obtenemos así que 123761232=24×32×859453, y ahora las reglas de divisibilidad nos dicen que 859453 no es divisible por 2, 3, 5 u 11. Si intentamos dividir entre 7, vemos que la división da exacta (¡pero ya “sólo” hemos tenido que dividir entre 7 un número de 6 cifras, no uno de 9 cifras!). El resultado de la división, 122779, ya no es divisible entre 7. Tenemos que probar ahora los números primos mayores que 11, es decir, 13, 17, 19, 23,.... Tras varios intentos infructuosos, llegamos a que 122779=59×2081, luego 123761232=24×32×7×59×2081, y ya hemos acabado la factorización.

La criba de Eratóstenes

¿Cómo sabemos en el anterior caso que ya hemos acabado? ¿Y cómo sabemos por qué números intentar dividir?  Claramente, 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos, pero ¿cómo sé que he dividido por todos los primos y no me he dejado ninguno? ¿Puedo en algún momento dejar de dividir y decir que 122779 es primo (si lo fuera)? Las respuestas a estas dos preguntas las da el procedimiento conocido como “criba de Eratóstenes”. Escribimos primero todos los enteros del 1 al 100, y luego tachamos todos los múltiplos de 2 (menos el 2). Después tachamos los múltiplos de 3 (menos el 3). Cuando llegamos al 4, vemos que ya está tachado por ser múltiplo de 2, así como todos los múltiplos de 4, que también son múltiplos de 2. El menor entero sin tachar es el 5, y tachamos todos los múltiplos de 5 (menos el 5). El siguiente entero sin tachar es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7 (menos el 7). Si haces esto, comprobarás que todos los números que te quedan sin tachar entre el 2 y el 100 son primos.

¿Por qué con este procedimiento no nos dejamos ningún primo entre 2 y 100 sin tachar? 100 no es primo, y si un número n menor que 100 no es primo, entonces lo podemos escribir como el producto de dos enteros a y b mayores que 1, n=a×b (a y b pueden ser ambos primos, o no). Claramente, uno de estos dos números es menor que 10, porque si fueran ambos mayores o iguales que 10, entonces n sería mayor o igual que 100. Tenemos entonces que, o a, o b, es menor que 10, y como ya hemos visto, los únicos números sin tachar menores que 10 son 2, 3, 5 y 7 (los demás son múltiplos de alguno de ellos). Luego a tiene un factor primo que es 2, 3, 5 o 7, y por lo tanto n también lo tendría. ¡Entonces, si n está sin tachar y es menor que 100, es primo! De la criba de Eratóstenes, obtenemos dos conclusiones:

• si intento dividir a un número n por todos los primos menores o iguales que su raíz cuadrada (que

puede no ser entera), y en ningún caso obtengo una división exacta, entonces n es primo, y

• puedo obtener todos los números primos menores que N, sin más que repetir la criba de

Eratóstenes, hasta llegar a la raíz cuadrada de N (que nuevamente, no tiene por qué ser entera).

Por ejemplo, queremos saber si 122779 es primo: si hallo su raíz cuadrada por el método tradicional, veo que será 350 y decimales, luego me basta con dividir hasta el mayor primo menor o igual que 350, y como la raíz cuadrada de 350 es 18 y decimales, me basta con realizar la criba de Eratóstenes, tachando todos los múltiplos de los primos hasta 17 inclusive, es decir, de 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. El mayor primo menor o igual que 350 resulta ser 349. ¡Menos mal que 122779 resulta ser divisible por 59!

Ahora bien, una vez que hemos encontrado que 122779=59×2081, paramos. ¿Por qué? Bueno, según lo anterior, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor que su raíz cuadrada, que es 45 y decimales, es decir, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor o igual que 43. ¡Pero esos ya los hemos probado todos, cuando intentábamos hallar un factor primo de 122779!  Luego 2081 es primo, y hemos acabado la factorización.

Hoy con la ayuda de los ordenadores (computadoras), determinar los factores primos de números muy grandes, puede ser un simple ejercicio. Un gran ejemplo de cómo las computadoras han cambiado el mundo es la factorización de un número de 129 dígitos conocido como RSA-129 publicado en la revista Science News del 7 de mayo de 1994. Este número había sido factorizado por el método de la criba cuadrática (QS, por sus siglas en inglés), con más de 600 computadoras que trabajaron en conjunto. Aquí está el número y sus dos factores:
  114,381,625,57,888,867,669,235,779,976,146,612,010,218,296,721,242,362,562,561,842,935,706,
935,245,733,897,830,597,123,563,958,705,058,989,075,147,599,290,026,879,543,541 =  3,490,529,510,847,650,949,147,849,619,903,898,133,417,764,638,493,387,843,990,820,577  x  32,769,132,993,266,709,549,961,988,190,834,461,413,177,642,967,992,539,798,288,533.

     También en un escrito del 1 de octubre de 1994, publicado en Science News, Ivars Peterson da una explicación fascinante de un descubrimiento de una máquina para factorizar de 75 años de antigüedad. En el 1989, Jeffrey Shallit de la Universidad de Waterloo, en Ontario, encontró un artículo de una poco conocida revista francesa de 1920 en la que el autor, Eugene Olivier Carissan, informó su invención del aparato para factorizar. La máquina fué encontrada en Francia;  aún existía y funcionaba, estando almacenada en un cajón de un observatorio astronómico en Floirac, cerca de Burdeos. La máquina funcionaba y al probarla, al Sr. Carissan le tomó 10 mínutos probar que 708,158,977 es un número primo, y fue capáz de factorizar un número de 13 dígitos. Aunque no puede compararse con la tecnología de las computadoras modernas, fue un logro sígnificativo en la época de Carissan.

Ganando dinero con los números primos

El 14 de noviembre de 2001, la computadora de Michael Cameron, un a T-Bird con procesador AMD a 800 MHz, encontró el 39⁰ número primo de Mersenne conocido, después de sólo 42 días de cómputo en los ratos en que se encontraba disponible una computadora. El número tiene 4,053,946 dígitos. La fundación Electronics Frontier ha pagado premios de 50,000 dólares por números primos que rompan el récord, a partir del primer primo con más de 1 millón de dígitos.  El primer descubridor de un primo de 10 millones de dígitos recibirá 100,000 dólares. Si quiere unirse a la GIMPS (gran búzqueda en internet de primos de Mersenne) revise en http:www.mersenne.org.

Responde a las siguientes preguntas:

1)      ¿Qué es la Criba de Eratóstones?

2)      Menciona 4 números primos de la criba de Eratóstenes cuya suma de los dígitos sea 13.

3)      Indica cuales de estos números son primos o compuestos:

                

Sopa de letras para Hallowen

 

¿Te cansastes de leer? Toma el reloj del tiempo y busca en la calabaza estos conceptos de Geometría.

Prof. Maximino Rosado Soto 

La Falacia del Jugador

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires

La Falacia del Jugador

      El 18 de agosto del año 1913, en una de las ruletas del casino de Monte Carlo se produjo un episodio inusual: el color negro se repitió veintiséis veces seguidas. No es difícil imaginar lo que sucedió en ese período. La gente dejó de jugar en las otras mesas para tratar de espiar —aunque sea desde lejos— lo que consideraba un hecho histórico. De hecho, lo fue. No hay registros serios de que hubiera habido una tira de un solo color de mayor longitud en ningún otro casino en el mundo. Antes de avanzar, me gustaría hacerle una pregunta: si usted hubiera estado allí en ese momento, y hubiera podido apostar, ¿a qué color hubiera jugado su dinero a medida que avanzaba la seguidilla? ¿Colorado o negro? Es decir, en vistas de la sucesión de números de color negro que se repetían, ¿hubiera intentado cortar la racha, jugando a colorado, o se hubiera mantenido en el negro? Obviamente, no puedo escuchar su respuesta, pero lo que sí puedo es contarle algo que nos sucede a todos los humanos (bueno… a la mayoría de nosotros): la tentación es jugar al otro color (en este caso colorado) porque —uno supone— que por la ley de probabilidades “es hora de que salga el otro”.

     Es decir, como uno sabe que la probabilidad de que aparezca cada color (colorado o negro) es la misma (casi ⁽¹⁾ un 50% de las veces) , la inclinación natural es asumir que la serie consecutiva de “números negros” tiene que detenerse. Algo así como “¡le toca salir a un número colorado ahora!” ⁽²⁾. Y es aquí donde aparece lo que se llama “La Falacia del Jugador”. Esa suposición de que “ahora tiene que salir colorado” es ciertamente un error. La ruleta no tiene memoria. Lea esa frase una vez más: “La ruleta no tiene memoria”. Cada tiro es INDEPENDIENTE del anterior. Nosotros, los que estamos afuera, llevamos la contabilidad y nos parece que como la probabilidad de que aparezca uno u otro color es la misma, entonces si salió lo que nosotros entendemos como una seguidilla de un color, debería compensarse con el otro color en algún momento. Y sobre todo, uno no quiere perdérselo porque sabe que en algún momento ¡tiene que suceder! La “racha” tiene que cambiar. Bien: eso es lo que más espera el casino. En realidad, lamento informar que… ¡no tiene por qué pasar! Más aún: aunque no pase, eso no altera la igualdad en la probabilidad de uno y otro.

1.     En realidad, no es el 50% porque las ruletas tienen o bien un número cero (que no tiene color) o algunas veces tienen además del cero un “doble cero”, que tampoco tiene color. O sea, en principio, de los 37 números que fi guran en el tambor, hay 18 colorados y 18 negros. El único (que suele ser de “color verde” es el cero.

Por eso, la probabilidad de que salga colorado (o negro) es 18 / 37 = (aprox.) 0,4864, es decir, un poco más del 48,64%. Si, además, hubiera doble cero, la probabilidad de que salga un colorado (o negro) es de 18 / 38 = 0,4736 (aprox.), lo que sígnifica que un poco más de un 47,36%.

2.       Otros ejemplos equivalentes: a) el número 7 (colorado) apareció seis veces seguidas en el Caesars Palace, en Las Vegas, en la mesa 211, el 14 de julio del año 2000; y b) en la ciudad de Bloomington, unos 200 kilómetros al sur de Chicago, el número 5 se repitió cinco veces consecutivas. William Nelson Darnborough, nativo del lugar, hizo saltar la banca apostando virtualmente todo lo que fue ganando en cada jugada.

     Me explico. Como decía antes, la ruleta (en este caso) no tiene memoria. Lo que pasó antes es irrelevante. Uno tiende a confundir dos hechos que ciertamente no son lo mismo, pero que uno les asigna el mismo valor de verdad. Fíjese qué le pasaría a usted. Cómo contestaría usted estas dos preguntas:

1)       Suponga que usted entra en un casino, se acerca a una mesa de ruleta y le dicen que salieron 26 “números colorados” seguidos. Yo le pregunto: ¿cuál es la probabilidad de que salga colorado en el tiro siguiente?

2)      Otra vez, usted entra en un casino, se acerca a una mesa de ruleta y yo le pregunto: ¿cuál es la probabilidad de que salgan 26 “números colorados” seguidos?

     ¿Se entiende la diferencia? La primera pregunta se contesta fácil: la probabilidad de que salga colorado es 18/37 = (aprox.) 0,4864, o sea, un poco más del 48%. En cambio, la segunda pregunta, la probabilidad de que salgan 26 números colorados todos seguidos es un número muy chico: (18 / 37)26 = (aprox.) 0,0000000073087029 (lo que es lo mismo que hacer circular la bolita en ¡mil millones de oportunidades y esperar que suceda siete veces!). En fi n, es muy difícil. No imposible, pero muy difícil. Y eso es lo que hay que entender, que hay una diferencia esencial entre los dos problemas: anticipar que un evento pase 26 veces seguidas ANTES de que hubiera sucedido es una cosa, pero si uno ya sabe que salió colorado 25 veces y se pregunta cuál es la probabilidad de que suceda una vez más, es algo muy diferente. Lo que se conoce como “La Falacia del Jugador” es que, a pesar de que las “tiradas” son independientes, los humanos tenemos la tentación de no creerlo y, por lo tanto, confi amos más en nuestra intuición y en el “pálpito”. Los dueños de los casinos tienen recolectados los datos y por eso se pagan fortunas para traer más y más clientes. Y hasta acá, les ha ido muy bien, siendo una de las industrias que más éxito tiene y ha tenido en la historia del ser humano: el juego. El hecho de que hubiera salido colorado o negro repetidamente no altera la probabilidad de que salga un color por sobre otro en la próxima jugada. Algo así como que la ruleta no tiene memoria. ¿Por qué sucede esto? La respuesta la podemos buscar juntos después de los siguientes ejemplos. Suponga que hay una familia que tiene dos niños. Uno acaba de nacer. El otro tiene 10 años. Es decir, uno es un bebé recién nacido y el otro ya está por terminar la escuela primaria. Acompáñeme a pensar lo siguiente: cuando el bebé cumpla un año, el mayor va a tener 11. Usted estará pensando: “Es una obviedad. Por supuesto que va a cumplir 11 si la diferencia entre los dos es de 10 años”. Y tiene razón. La diferencia entre los dos será SIEMPRE 10 años. Pero fíjese que hay otro número entre los dos que va cambiando a medida que van creciendo. Divida las dos edades entre sí. Es decir, la del mayor (11) dividida por la del menor (1). ¿Qué obtiene? El número 11. Al año siguiente, cuando el primogénito cumpla 12, el hermano menor cumplirá 2 años. El cociente entre las dos edades es ahora seis, ya que 12 dividido 2 es 6. De la misma forma, cuando el mayor cumpla 13, el menor tendrá 3, pero el cociente ahora es un número más chico: 4,3333 (13 / 3 = 4,3333...). Y cuando el más grande cumpla 14, el menor tendrá 4, y el cociente ahora será 3,5 (ya que 14 / 4 = 3,5). Y así, uno puede seguir como se ve en esta tabla:

     Si bien la distancia (medida en años) es y será siempre la misma mientras ambos estén vivos, el cociente va cambiando a medida que avanza el tiempo. Ese numerito se va haciendo cada vez más chico, como se aprecia en la tabla adjunta. Es más: si usted presta atención a esa tabla con un poco más de cuidado, verá que el cociente es un número que se va aproximando a uno. Es decir, a medida que van creciendo los dos niños, el número no sólo se hace más pequeño, sino que cada vez está más cerca de uno. Desde el punto de vista de las equivalencias, lo que está diciendo es que una persona de 80 años y otra de 90 tienen ya muchas similitudes. Es muy fácil descubrir

quién es mayor en el caso de 12 y 2 años (respectivamente). Sin embargo, entre dos personas que se lleven 10 años pero de las cuales uno tiene 80 y el otro 90, es muchísimo más difícil. Es decir, que del hecho de que ese cociente entre las edades sea un número que se acerque al número uno, lo que está diciendo es que cada vez, a medida que va pasando el tiempo, ¡cada vez son más parecidos!

     De hecho, si yo le preguntara a usted: acá tiene dos números (llamémoslos a y b). ¿Son iguales? Una manera sería restar los dos números, y fi jarse si el resultado es cero. Sin embargo, otra forma equivalente, sería dividir uno por el otro, y en ese caso, el resultado debería ser... el número uno. Y eso es muy importante. La forma más usual de decidir si dos cantidades son iguales o si están cerca en magnitud o si son equivalentes... es dividir una por otra y fi jarse si uno obtiene un número cercano a uno. Cuanto más cerca de uno está, más parecidos son los números que uno está comparando ⁽³⁾. Tomemos el caso de una moneda. Uno cree que porque la probabilidad de que salga cara o ceca es ½ (o 50%) para cada lado, esto significa que si uno tira la moneda 100 veces, entonces saldrá la mitad de veces cara y la otra mitad, ceca. O sea, uno querría que la diferencia entre caras y cecas sea cero, porque cree que habrá el mismo número. Y eso no es así, ni tiene que serlo. Nadie garantiza (porque sería falso) que si uno tirara una moneda 10 veces saldrán tantas caras como cecas. Pero lo que sí va a suceder es que a medida que uno siga tirando la moneda al aire, la división entre el número de caras y de cecas se acercará al número 1, como pasaba en la tabla con las edades de los niños. Bien podría suceder que uno tirara una moneda un millón de veces y que saliera en 510.000 ocasiones cara y 490.000 veces ceca. La diferencia entre los dos casos es de ¡veinte mil!, pero el cociente (510.000 / 490.000) = (aprox.) 1,04.

1.       Sería interesante (aunque escapa al objetivo de este libro) hablar de la diferencia entre error absoluto y error relativo que aparece en las mediciones físicas. Uno podría desviarse en miles de kilómetros midiendo la distancia entre estrellas, pero el error relativo podría ser muy pequeño.

     Es decir, si tiráramos la moneda indefinidamente, la diferencia entre el número de caras y de secas puede ser enorme, e incluso ir agrandándose cada vez más, pero lo importante es que ¡el cociente debería tender a uno! Y eso es lo que le interesa. Eso es lo que en matemática se llama “La Ley de los Grandes Números”. Por último, quiero retomar la pregunta que había quedado planteada después del ejemplo del casino de Monte Carlo en donde el color negro se repitió 26 veces seguidas en una de las mesas de ruleta: “¿Por qué no se altera la probabilidad de que salga el mismo color repetido tantas veces?”. Antes que siga yo, ¿se siente en condiciones de conjeturar una potencial respuesta después de lo que leyó hasta acá? Pensémoslo juntos: es que uno ahora ya sabe que del hecho de que la probabilidad de que salga colorado o negro sea la misma no se desprende que el número de colorados y negros sea el mismo. Puede salir cien o mil veces seguidas el mismo color y eso no altera nada. Lo que importa es saber que el cociente entre esos dos números se acercará a uno a medida que las jugadas se sigan sucediendo. Por eso, si usted va a apostar o jugar en algún juego de azar, le conviene leer algo de probabilidades porque es muy posible que lo que usted cree que va a pasar, no sea lo que predice la ciencia.

 Ejercicios: Responde a las preguntas:

1)  ¿Qué es probabilidad?

2) La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.  Conociendo esto. Intenta y busca la respuesta a este ejercicio.

- Juan depositó en un jarro 7 canicas azules, 11 canicas blancas y 9 negras y mezcló las canicas agitando el jarro. ¿Cuál es la probabilidad de que al introducir la mano en el jarro 3 veces corridas obtenga una azul, 2 blancas y tres negras?   

Las Plantas y las Matemáticas

 

Prof. Maximino Rosado Soto



 

Artículo tomado de www.bbc.com Mundo noticias de 24 junio de 2013

 



Las plantas usan las matemáticas para sobrevivir

 

     Las plantas saben contar. Tienen una capacidad incorporada para las matemáticas, que las ayuda a regular las reservas de alimentos durante la noche. Modelos matemáticos muestran que la cantidad de almidón consumido durante la noche se calcula a través de una división en un proceso que involucra productos químicos de las hojas, de acuerdo a un reporte de un equipo del John Innes Centre en la publicación e-Life. Las aves podrían utilizar los mismos métodos para preservar los niveles de grasa durante la migración.

 

     Los científicos estudiaron la planta Arabidopsis, considerada una planta modelo para experimentos.

 "Asombrados"
    Durante la noche, cuando la planta no puede utilizar la energía de la luz solar para convertir el dióxido de carbono en azúcares y almidón, debe regular sus reservas de almidón para asegurar que duren hasta el amanecer.

    Los experimentos, realizados por científicos del Centro John Innes, en Norwich (este de Inglaterra), muestran que para ajustar su consumo de almidón de manera tan precisa la planta debe realizar un cálculo matemático: una división aritmética.
"Están haciendo realmente matemáticas de una manera simple y química: eso es increíble, a los científicos nos sorprendió ver eso", le dijo a la BBC la encargada del estudio, la profesora Alison Smith. Los científicos usaron modelos matemáticos para investigar cómo una división puede llevarse a cabo dentro de una planta.

Esto no es una prueba de la inteligencia de una planta. Simplemente sugiere que las plantas tienen un mecanismo diseñado para regular automáticamente la velocidad con la que queman carbohidratos en la noche. Las plantas no hacen matemáticas voluntariamente y con un propósito en mente, como lo hacemos nosotros. Dr. Richard Buggs de Queen Mary, Universidad de Londres.

Durante la noche, los mecanismos dentro de la hoja miden la cantidad de almidón. Y la información sobre el tiempo proviene de un reloj interno, similar al del reloj biológico del cuerpo humano.

"Cálculo sofisticado"

   Los investigadores sugirieron que el proceso está mediado por las concentraciones de dos tipos de moléculas, llamadas "S" para el almidón y "T" para el tiempo.

Si las moléculas de "S" estimulan la descomposición de almidón, mientras que las moléculas "T" evitan que esto ocurra, entonces la tasa de consumo de almidón se establece por la relación de moléculas "S" a "T". En otras palabras, "S" dividido "T".
"Este es el primer ejemplo concreto en la biología de un cálculo aritmético tan sofisticado", dijo el profesor Martin Howard, del John Innes Centre. Los científicos creen que mecanismos similares pueden operar en los animales, como las aves que controlan las reservas de grasa durante la migración a larga distancia, o cuando se les priva de alimentos al incubar los huevos.
Al comentar sobre la investigación, el Dr. Richard Buggs de Queen Mary, Universidad de Londres, dijo: "Esto no es una prueba de la inteligencia de una planta. Simplemente sugiere que las plantas tienen un mecanismo diseñado para regular automáticamente la velocidad con la que queman carbohidratos en la noche". "
Las plantas no hacen matemáticas voluntariamente y con un propósito en mente, como lo hacemos nosotros", agregó.





El Ángulo Recto



Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura tomada del libro;  Historia de los números, los símbolos y el espacio. de IRVING ADLER

 



El Ángulo Recto

     El ángulo que empleamos más a menudo es el que mide 90 grados. Lo llamamos ángulo recto. Los albañiles forman un ángulo recto por medio de cuerdas. Fijan una cuerda horizontal con un nivel y colocan otra cuerda vertical suspendiendo un peso o plomada en el extremo libre. Así forman un ángulo recto exacto, que los guiará para tender las hiladas .de ladrillos. De este modo, los muros de las casas que construyen estarán derechos y a plomo. En el antiguo Egipto, los agrimensores formaban un ángulo recto por el procedimiento de "tender una soga"; empleaban una cuerda dividida en doce espacios iguales por medio de nudos.

    
     Un trabaiador sostenía, juntos, los dos extremos de la soga, en tanto que otro sujetaba el nudo que marcaba tres espacios a partir del extremo, y un tercer hombre detenía con la mano el nudo que indicaba cuatro espacios contados del otro extremo. Si la cuerda estaba tirante, se formaba un ángulo recto. Una manera de formar un ángulo recto consiste en doblar una hoia de papel. Se dobla y se vuelve a doblar, haciendo coincidir los dobleces.
Un ángulo recto mide 90 grados. Los antiguos egipcios formaban los ángulos rectos manteniendo tirante urua cuerda anudada uniformemente.

     Esta lectura es interesante, ya que los carpinteros, albañiles que realizan las construcciones de hoy día utilizan la plomada, pero también utilizan una escuadra con un ángulo de 90 grados y un cartabón o triángulo para cuadrar las esquinas de los edificios que van a construir. La medida de los lados de ese cartabón son los números (3, 4 y 5). Estos tres valores numéricos son las medidas de un triángulo rectángulo. (3, 4, 5) es un triple pitagórico (Teorema de Pitágoras). En el antiguo Egipto aplicaban en las construcciones ese teorema. Recuerden que el teorema dice; ¨La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos a y b es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.¨
Algebraicamente esta ecuación se puede despejar para a y b respectivamente para encontrar la medida del lado que falta. En un triángulo rectángulo ABC los lados que forman el ángulo recto son los catetos del triángulo y el otro lado es la hipotenusa.

    Cuando las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son números naturales, a las longitudes se les llama terna pitagórica (triple pitagórico). Puedes utilizar la fórmula de este teorema para determinar la medida del tercer lado que falta. Resuelve; Si la hipotenusa es c = 13 y un cateto a = 5, encuentra la medida del tercer lado, b = _____.
Si la solución encontrada está correcta habrás resuelto la medida del tercer lado. Cuando trabajas con el exponente dos (número 2), o sea un potencia elevada al cuadrado, la solución la hallarás encontrando la raíz cuadrada de un número. Recuerda que a y b son los catetos y c es la hipotenusa (lado más largo) en un triángulo rectángulo, por lo tanto, dada la ecuación del teorema de Pitágoras, despeja para el lado que estas buscando.


                                                 



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Números

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura tomada de Paenza, Adrián    Matemática para todos - 1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.        ISBN 978-950-07-4039-5

Núm3ros

       El 23 de enero del año 2005, hizo su debut televisivo en los Estados Unidos, en horario central, una serie que pocos sospecharon que tendría tanto éxito: NUMB3RS. Si bien aparecían todos los ingredientes que suelen atrapar a las grandes audiencias (crímenes, persecuciones policiales, incógnitas a develar, dramas pasionales, distintos niveles de corrupción y una larga lista de etcéteras), aparecía una componente totalmente inesperada: uno de los héroes era un matemático, Charles Eppes (1). Pero Charles no estaba solo. En la ficción, era el hermano menor de Don, un agente de la FBI a quien ayudaba usando la matemática para descubrir, identificar y atrapar a los criminales. La serie culminó el 12 de marzo de 2010 y representó la primera aparición de un matemático en un lugar tan protagónico dentro de la televisión norteamericana, con la obvia incidencia que tiene en todo el mundo (occidental al menos). Los capítulos exhibieron la potencialidad de distintas herramientas que provee la matemática para entender los patrones que aparecen en la vida real y, por otro lado, pusieron de manifiesto la potencia extraordinaria que permite su uso.

1.       David Krumholtz en la vida real. La serie fue creada por el matrimonio Cheryl Heuton y Nicolas Falacci, y producida por los hermanos Ridley y Tony Scott.

       Lo que quiero hacer aquí es extraer un segmento de uno de los episodios (2) y proponerle a usted que haga de “detective” y luego analicemos juntos si sus conjeturas son válidas o son vulnerables. Acá va. En una pequeña ciudad hay dos compañías de taxi que prestan servicio: los Amarillos y los Negros. Como la población no es muy importante, el número de vehículos tampoco lo es: los amarillos son 15 y los negros, 75. A los efectos del planteo del problema (que por supuesto involucra condiciones que uno considera “ideales”), podemos suponer que los 90 taxis estaban circulando en el momento en el que se produce el accidente que paso a relatar. Un testigo ve el accidente y dice que un taxi amarillo fue el culpable. Ante un requerimiento de la policía, el testigo se somete a distintos tests para detectar cuán confi able es su visión, teniendo en cuenta las condiciones que rodearon el episodio (de noche, con poca visibilidad, con una garúa pertinaz), y cuando se le presentaron aleatoriamente taxis amarillos y negros, demostró que los pudo identifi car correctamente 4 de 5 veces. O sea, en sólo una de cinco veces confundía uno amarillo con uno negro y viceversa. Ahora, le pregunto: “Si usted estuviera investigando el caso, y tuviera los datos que fi guran más arriba, ¿de qué color cree que era el taxi culpable?”.

2.         Extraído del libro ''Numbers Behind the Numb3rs'' (Números detrás de los Núm3ros), publicado en el año 2007 por la Editorial Plume, y cuyos autores son Kevin Devlin (uno de los gurúes de la divulgación de la matemática en el mundo) y Gary Lorden, profesor en Cal-Tech en Pasadena, California, quien fue el jefe de los consultores sobre temas matemáticos que tuvo la serie.

      Como siempre, la/lo invito a que se detenga un rato, lea el planteo del problema y, sin apuro, piense qué le parece que es lo más probable que haya pasado: ¿fue amarillo o negro el taxi involucrado en el accidente? Ahora sigo yo. La tentación es contestar: “Vea, si el testigo acertó en cuatro de cinco veces (el 80%) el color del taxi, y como dijo que él vio un taxi amarillo, entonces, es un 80% probable que el taxi FUERA de color amarillo. ¡Qué duda cabe!”. Bueno, caben muchas dudas. Y ahora le pido que me acompañe en este razonamiento. Analicemos juntos las distintas posibilidades. Es decir, voy a escribir todos los casos posibles (que en total son cuatro):

1)       que el taxi fuera amarillo y que el testigo lo distinguiera correctamente,

2)       que el taxi fuera amarillo y que el testigo se equivocara y dijera negro,

3)       que el taxi fuera negro y que el testigo lo distinguiera correctamente, o

4)       que el taxi fuera negro y que el testigo se equivocara y dijera amarillo.

En el caso (1), como hay 15 taxis amarillos y el testigo distingue correctamente el 80% de los vehículos, eso quiere decir que acertaría en 12 casos (ya que el 80% de 15 es 12).

En el caso (2), el testigo se equivocaría diciendo negro cuando es amarillo en el 20% de las 15 veces que los viera, o sea, 3 veces.

En el caso (3), como hay 75 taxis negros y el testigo distingue correctamente el 80% de los vehículos, acertaría el 80% de 75 que es 60.

Y en el último caso, el (4), el testigo se equivocaría en el 20% de los 75, es decir, en 15 oportunidades, y diría que lo que vio es un taxi amarillo cuando en realidad es negro. Resumo todo ahora.

Taxi Color	Número total	Acierta	Se equivoca
Amarillo	15	12	3
Negro	75	60	15

 

Es decir, el testigo diría amarillo en 27 oportunidades: 12 serían correctas, y 15 incorrectas. Luego, la probabilidad de que haya descripto la verdad cuando dijo que el taxi era amarillo se calcula dividiendo 12 por 27 (3). Y ahora, fíjese entonces que  12 / 27 = 0.44…

     O sea, que el testigo ¡describe la realidad en un poco más del 44% de las veces! Es más probable que el taxi sea negro que amarillo28. Y a eso quería llegar. La tentación inicial era decir que, de acuerdo con los datos, el taxi tenía un 80% de posibilidades de ser amarillo, pero cuando uno estudia el caso en forma global, incluyendo toda la información que tiene, descubre que la conclusión inicial es equivocada.

3.         Es que el señor dice en total “amarillo” 27 veces, pero de esas 27 solamente 12 son correctas. Por eso, la probabilidad de que sea amarillo se calcula dividiendo esos dos números: 12 / 27 = (aprox.) 0,44444… O sea, las posibilidades de que sea amarillo superan el 44,44%. 28.  O sea, el 56% restante.

     Le propongo que lo piense así: si el testigo sólo hubiera tenido que atestiguar si en el accidente hubo involucrado un taxi, independientemente del color, entonces ¿qué cree que hubiera dicho? Teniendo en cuenta que circulando hay 90 taxis de los cuales 75 son negros, y que de acuerdo con los tests de “confiabilidad” esta persona acierta en un 80% de los casos, lo más probable es que su conclusión hubiera sido que el taxi era de color negro. Por lo tanto, antes de que tenga que defi nir color, las chances de que fuera amarillo eran muy bajas: 15 sobre 90, o sea un poco más del 16,6%. No obstante, ni bien es invitado a definir el color, cuando dice haber visto un taxi amarillo, la probabilidad de que sea amarillo aumenta, por supuesto, pero no tanto como para superar el 50% y transformar en más probable el color amarillo sobre el negro. Una vez más, la matemática sirve de ayuda esencial para esclarecer una situación que, de otra forma, terminaría incriminando a un inocente. Cada vez me parece más imperioso empezar a enseñar el estudio de probabilidades y estadística en los estamentos iniciales de las escuelas. Quizás en otra época no era tan necesario (y no estoy tan seguro), pero abordar temas de matemática combinatoria y su consecuente aplicación a la vida cotidiana empieza a transformarse en algo cada vez más imprescindible para la educación de una persona.