Los números primos, compuestos y factorización.

Los números primos, compuestos y factorización

    En la teoría de números uno de los conceptos importantes es tener bien claro la divisibilidad.

El concepto de la divisibilidad debemos tenerlo claro para poder saber si un número es divisible entre otro, ya que en muchas ocasiones nos facilita la factorización de un número natural. Decimos entonces que un número natural es divisible entre otros si, al dividir el primero entre el segundo, se obtiene un residuo de cero (0). El conocer ciertas reglas de divisibilidad te ayudarán a comprender mejor los números primos, compuestos y la factorización.

Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad

El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un número entero cualquiera n:

• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,

• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,

• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es

impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el

número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),

• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5, 
* Para determinar si un número es divisible por 7,saca el último dígito del número, duplícalo y réstalo del número restante. Si este resultado es exactamente divisible por 7 (ej, 14, 7 , 0 , -7, etc.) entonces el número es divisible por 7. Puede ser que necesites repetir esto varias veces. 
310 - saca el ultimo dígito del número que es el 1
-2 - dobla el dígito separado y réstalo
-------
308 - repite el proceso sacando el 8
-16 - y doblálo para obtener 16 y réstalo
------
14 - el resultado es 14 que es un múltiplo de 7  

• es divisible entre 8 si y sólo si  el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,

• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,

• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,

• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras

en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).

     Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque

sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar

(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161 sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).

Factorización en primos

La descomposición en factores primos de un entero n, también llamada factorización en primos o

simplemente factorización, consiste en expresar n como producto de números primos; como ya hemos dicho, esta forma de expresarlo es única salvo el orden de los factores primos. Para números

relativamente pequeños, esta factorización suele ser sencilla, por ejemplo 12=22×3, 56=23×7, o 51=3×17.  Para números más grandes, como 123761232, la tarea empieza a ser más complicada, de entrada porque, ¿cómo sabemos qué factores primos tiene 123761232? ¿Y si 123761232 fuera él mismo un número primo?  Yendo por partes, vemos en primer lugar que 123761232 no puede ser primo; de hecho, aplicando las reglas de la división vemos que es divisible por 2 y por 9, pero ni por 5 ni por 11. Podemos en primer lugar simplificar el problema, “sacando” todos los factores de 2 que podamos, dividiendo sucesivamente por 2 mientras se pueda, añadiendo 1 al exponente de 2 en la factorización del número por cada division que podemos hacer; otro tanto haríamos con el 3.

Obtenemos así que 123761232=24×32×859453, y ahora las reglas de divisibilidad nos dicen que 859453 no es divisible por 2, 3, 5 u 11. Si intentamos dividir entre 7, vemos que la división da exacta (¡pero ya “sólo” hemos tenido que dividir entre 7 un número de 6 cifras, no uno de 9 cifras!). El resultado de la división, 122779, ya no es divisible entre 7. Tenemos que probar ahora los números primos mayores que 11, es decir, 13, 17, 19, 23,.... Tras varios intentos infructuosos, llegamos a que 122779=59×2081, luego 123761232=24×32×7×59×2081, y ya hemos acabado la factorización.

La criba de Eratóstenes

¿Cómo sabemos en el anterior caso que ya hemos acabado? ¿Y cómo sabemos por qué números intentar dividir?  Claramente, 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos, pero ¿cómo sé que he dividido por todos los primos y no me he dejado ninguno? ¿Puedo en algún momento dejar de dividir y decir que 122779 es primo (si lo fuera)? Las respuestas a estas dos preguntas las da el procedimiento conocido como “criba de Eratóstenes”. Escribimos primero todos los enteros del 1 al 100, y luego tachamos todos los múltiplos de 2 (menos el 2). Después tachamos los múltiplos de 3 (menos el 3). Cuando llegamos al 4, vemos que ya está tachado por ser múltiplo de 2, así como todos los múltiplos de 4, que también son múltiplos de 2. El menor entero sin tachar es el 5, y tachamos todos los múltiplos de 5 (menos el 5). El siguiente entero sin tachar es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7 (menos el 7). Si haces esto, comprobarás que todos los números que te quedan sin tachar entre el 2 y el 100 son primos.

¿Por qué con este procedimiento no nos dejamos ningún primo entre 2 y 100 sin tachar? 100 no es primo, y si un número n menor que 100 no es primo, entonces lo podemos escribir como el producto de dos enteros a y b mayores que 1, n=a×b (a y b pueden ser ambos primos, o no). Claramente, uno de estos dos números es menor que 10, porque si fueran ambos mayores o iguales que 10, entonces n sería mayor o igual que 100. Tenemos entonces que, o a, o b, es menor que 10, y como ya hemos visto, los únicos números sin tachar menores que 10 son 2, 3, 5 y 7 (los demás son múltiplos de alguno de ellos). Luego a tiene un factor primo que es 2, 3, 5 o 7, y por lo tanto n también lo tendría. ¡Entonces, si n está sin tachar y es menor que 100, es primo! De la criba de Eratóstenes, obtenemos dos conclusiones:

• si intento dividir a un número n por todos los primos menores o iguales que su raíz cuadrada (que

puede no ser entera), y en ningún caso obtengo una división exacta, entonces n es primo, y

• puedo obtener todos los números primos menores que N, sin más que repetir la criba de

Eratóstenes, hasta llegar a la raíz cuadrada de N (que nuevamente, no tiene por qué ser entera).

Por ejemplo, queremos saber si 122779 es primo: si hallo su raíz cuadrada por el método tradicional, veo que será 350 y decimales, luego me basta con dividir hasta el mayor primo menor o igual que 350, y como la raíz cuadrada de 350 es 18 y decimales, me basta con realizar la criba de Eratóstenes, tachando todos los múltiplos de los primos hasta 17 inclusive, es decir, de 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. El mayor primo menor o igual que 350 resulta ser 349. ¡Menos mal que 122779 resulta ser divisible por 59!

Ahora bien, una vez que hemos encontrado que 122779=59×2081, paramos. ¿Por qué? Bueno, según lo anterior, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor que su raíz cuadrada, que es 45 y decimales, es decir, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor o igual que 43. ¡Pero esos ya los hemos probado todos, cuando intentábamos hallar un factor primo de 122779!  Luego 2081 es primo, y hemos acabado la factorización.

Hoy con la ayuda de los ordenadores (computadoras), determinar los factores primos de números muy grandes, puede ser un simple ejercicio. Un gran ejemplo de cómo las computadoras han cambiado el mundo es la factorización de un número de 129 dígitos conocido como RSA-129 publicado en la revista Science News del 7 de mayo de 1994. Este número había sido factorizado por el método de la criba cuadrática (QS, por sus siglas en inglés), con más de 600 computadoras que trabajaron en conjunto. Aquí está el número y sus dos factores:
  114,381,625,57,888,867,669,235,779,976,146,612,010,218,296,721,242,362,562,561,842,935,706,
935,245,733,897,830,597,123,563,958,705,058,989,075,147,599,290,026,879,543,541 =  3,490,529,510,847,650,949,147,849,619,903,898,133,417,764,638,493,387,843,990,820,577  x  32,769,132,993,266,709,549,961,988,190,834,461,413,177,642,967,992,539,798,288,533.

     También en un escrito del 1 de octubre de 1994, publicado en Science News, Ivars Peterson da una explicación fascinante de un descubrimiento de una máquina para factorizar de 75 años de antigüedad. En el 1989, Jeffrey Shallit de la Universidad de Waterloo, en Ontario, encontró un artículo de una poco conocida revista francesa de 1920 en la que el autor, Eugene Olivier Carissan, informó su invención del aparato para factorizar. La máquina fué encontrada en Francia;  aún existía y funcionaba, estando almacenada en un cajón de un observatorio astronómico en Floirac, cerca de Burdeos. La máquina funcionaba y al probarla, al Sr. Carissan le tomó 10 mínutos probar que 708,158,977 es un número primo, y fue capáz de factorizar un número de 13 dígitos. Aunque no puede compararse con la tecnología de las computadoras modernas, fue un logro sígnificativo en la época de Carissan.

Ganando dinero con los números primos

El 14 de noviembre de 2001, la computadora de Michael Cameron, un a T-Bird con procesador AMD a 800 MHz, encontró el 39⁰ número primo de Mersenne conocido, después de sólo 42 días de cómputo en los ratos en que se encontraba disponible una computadora. El número tiene 4,053,946 dígitos. La fundación Electronics Frontier ha pagado premios de 50,000 dólares por números primos que rompan el récord, a partir del primer primo con más de 1 millón de dígitos.  El primer descubridor de un primo de 10 millones de dígitos recibirá 100,000 dólares. Si quiere unirse a la GIMPS (gran búzqueda en internet de primos de Mersenne) revise en http:www.mersenne.org.

Responde a las siguientes preguntas:

1)      ¿Qué es la Criba de Eratóstones?

2)      Menciona 4 números primos de la criba de Eratóstenes cuya suma de los dígitos sea 13.

3)      Indica cuales de estos números son primos o compuestos: