Polinomios- Sopa de letras

Polinomios por Maximino Rosado Soto

 

Curiosidades Matemáticas

     Desde la creación del Universo la matemática ha estado presente.  Siempre digo a mis estudiantes; ¨Dios inventó la matemática, nosotros creamos problemas con ella.¨ Sin la matemática sería imposible muchas leyes que rigen el movimiento de los cuerpos celestes, posición de planetas, velocidad de la luz , peso, masa, espacio, la vida en la tierra y muchas cosas mas.

Algunas curiosidades Matemáticas.

1. La luz tarda 8 minutos y 17 segundo desde el Sol hasta la superficie terrestre.
2. Las girafas pueden limpiarse las orejas con su lengua, que mide medio metro (aproximadmente 1.65 pies). Esto me recuerda la sección áurea (número de oro).
3. Se transmiten más gérmenes dando la mano que besando. ¡Cuidado, ahora no salgas por ahí a darle besos a todo el mundo!
4. La rana colombiana ¨Dardo Dorado¨ contiene tantas toxinas como para matar 1000 humanos.
5. La palma Talipot tarda 100 años en florecer y después.
6. Somos casi un cuarto de pulgada (6.35 mm) más altos de noche cuando dormimos que de día.
7. En Estados Unidos hay más de 1250 millones de ratas. ¿Cuántas hay en vecindario?
8. Un rayo posee tanta energía como para iluminar dos millones y medio de hogares. Piensa e investiga, ¿Cómo capturar esa energía y llevarla a los hogares de todo un país como Puerto Rico o una gran ciudad como Nueva York?
9.  Una libédula puede ver insectos que se mueven a una distancia de 33 pies.
10. La matemática del huevo es interesante. Su forma y su relación con el número de oro, tines que investigarla. Con poner un huevo a calentar a 40 grados centígrados de temperatura, durante 21 días, se logra un pollito romperá el cascarón y saldrá piando. Ahora, ¿qué vino primero el huevo o la gallina?
11. Nuestra galaxia, la Via Láctea, contiene más de 100,000 millones de estrellas.
12. El diámetro de nuestra galaxia se extiende por una distancia tan grande que si uno pudiara viajar a la velocidad de la luz (299,792 kilómetros o sea 186,282 millas por segundo) le tomaría 100,000 años cruzarla.
13. Nuestra estrella (el sol) es un gigante horno atómico ante nosotros, pero hay en el Universo otros soles que son 5, 10, 15, 20 veces más grande que el Sol que nos calienta y nos regala vida. 
14. El Sinsonte es un pájaro que puede imitar más de 50 aves en una sola hora.
15. Haciendo conexión con el número 13. La Tierra es un bola de 40,000 kilómetros de perímetro (meridiano). El Sol es un millón trecientas mil (1, 300,000) veces mayor que la tierra. En la estrella Antares, de la constelación de Escorpión caben 115 millones de soles. Alfa de Hércules, que está a 1,200 años luz, y es la mayor de todas las estrellas conocidas, es 8000 billones de veces mayor que el Sol. El radio de Antares es el diámetro de la órbita de la Tierra, es decir de 300 millones de kilómetros; y que el diámetro de la orbita de Plutón (que ya no se clasifica como planeta), que es de 12,000 millones de Km., es la décima parte del radio de Alfa de Hércules. Todo esto lo ha calculado un astronomo. La Tierra va a 100000 km por hora (30 km por segundo). El Sol va a 300 km por segundo hacia la Constelación de Hércules. La Constelación de Virgo se aleja de nosotros a 1000 km por segundo. El Cúmulo de Boyero se desplaza a 100000 Km por segundo. Por el desplazamiento hacia el rojo de las rayas del espectro se ha calculado que hay estrellas que se alejan de nosotros a 276,000 km por segundo. Es decir, al 92% de la velocidad de la luz. El movimiento de las estrellas es tan exacto que se puede hacer el almanaque con muchisima anticipación. El almanaque pone la salida y la puesta del Sol de cada día, los eclipses que habrá durante todo el año, el día que serán, a que hora, cuánto durarán y todos los datos relacionados a las estrellas y movimientos de cuerpos celestes. Sabías que el Cometa Halley pasó junto a la Tierra en el año de 1910 y volvió a pasar cerca de la Tierra (a 486 millones de km) en marzo de 1986, o sea según el astrónomo que lo descubrió, este cometa reaparece cada 76 años al completar su trayectoria para volver a pasar cerca de la Tierra. Yo tenía recortes de periódico de fotos de ese cometa.
16. El ojo humano, es una maravillosa máquina fotográfica, que saca 10 fotos por segundo y no tiene nada que envidiarle a las cámaras digitales de hoy día.
17. Y que de nuestro cuerpo. El cerebro tiene 14,000 millones de neuronas. En el organismo humano hay alrededor de 60 billones de células. Nuestro cuerpo tiene un sistema binario- dos manos, dos ojos, dos orejas, dos pies, dos partes cerebrales... tiene también el sistema decimal 10 dedos en las manos, 10 en los pies. Y si hablamos del corazón que es una máquina que bombea a diario la sangre de nuestro cuerpo; 60 latidos por mínuto aproximado, en una hora tendrás 3600 latidos, ¿en un día cuántos son?, has el cálculo. ¿Cuántos años tiene? Multiplica el número de años que tiene por la cantidad de latidos en 365 días del año y te sorprenderás. Otras matemáticas del cuerpo humano- cantidad de huesos, pintas de sangre, gustos de la lengua, bellos en el cuerpo, dentadura y terminamos... Hasta la proporción áurea esta presente el cuerpo humano.

Amigo tome un descanso, ya que aún no he terminado............

Descomponiendo un número en 4 sumandos

Buscando entre mis libros me encontré uno que siempre había guardado como unos de mis preferidos. El libro ¨Juegos y Pasatiempos¨ del autor Oscar Jeremías Fau impreso en 1964.  He encontrado varios problemas en donde se aplican las matemáticas para resolver alguna situación. Tenemos un ejercicio de aritmética interesante,

1. ¿Cómo descompondremos el número 100, en cuatro sumandos, en forma que sumando 4 al primero, restando 4 al segundo, multiplicando por 4 el tercero y dividiento por 4 el último, obtengamos, precisamente la cifra 16?  La solución no puede ser más sencilla: los números serán los siguientes:  

100 = 12 + 20 + 4 + 64

12 + 4 = 16

20 - 4 = 16

4 X 4 = 16

64/4 = 16

     Si queremos descomponer en igual forma otro número cualquiera, para obtenerlo, bastará con partir uno a elección nuestra y un de sus múltiplos: por ejemplo 5 y 15. Restándolos obtenemos el primer sumando (15 - 5 = 10); sumándolos aparece el segundo: (15 + 5 = 20); por la división conseguimos el tercero: (15/5 = 3) y al multiplicar (15 x 5 = 75 ). La adición de los cuatro nos da el número a descomponer.

10 + 20 + 3 + 75 = 108

10 + 5 = 15

20 - 5 = 15

3 x 5 = 15

75/5 = 15

Vemos claramente como el numero 15 se aparece en las 4 operaciones basicas.

     Bueno lo interesante de esa aritmética es que también se integra al algebra para encontrar la incógnita de una variable. En el primer caso en que aparece 16 podemos resolverlo aplicando pequeñas ecuaciones de primer grado.

x + 4 = 16

x - 4 = 16

4x = 16

x/4 = 16

     Ahora te toca a ti poder descomponer un número cualquiera en cuatro sumandos y prácticar ese aprendizaje.

El Tablero de Ajedrez

Prof. Maximino Rosado Soto
Lectura tomada del Libro "Malditas Matematicas" del autor Carlo Frabetti ISBN: 84-204-4175-9

El desierto de trigo 

     Mientras seguían avanzando por el intrincado laberinto,
Alicia le preguntó a Charlie: —¿Por qué el Cero le tenía tanto miedo a la Minovaca? En el fondo, es inofensiva. —Para nosotros, tal vez; pero ten en cuenta que los naipes son de cartulina y que las vacas comen papel, pues está hecho de celulosa, igual que la hierba. Al cabo de un rato, la niña se dio cuenta de que el suelo del laberinto empezaba a cubrirse de una fina gravilla. Una gravilla muy suave y uniforme, que crujía de un modo extraño bajo sus pies. Al agacharse para examinarla de cerca, Alicia exclamó: —¡Es trigo! ¡El suelo está alfombrado de granos de trigo! —Eso significa que estamos cerca de la salida —comentó Charlie sin inmutarse. Y, efectivamente, poco después, salieron a una inmensa y ondulada extensión amarillenta, un deslumbrante desierto que parecía no tener fin.

     Sólo que no era un desierto de arena, sino de trigo. —¿Qué es esto? —preguntó Alicia, con los ojos muy abiertos por el asombro. —Es la deuda del rey Shirham —contestó Charlie—. Mejor dicho, una pequeña parte de su deuda. —¿Y a quién le debe tanto trigo? —Será mejor que te lo cuente él mismo. ¿Ves un puntito negro sobre aquella duna, la más alta? Debe de ser él. Vamos a hacerle una visita. Tras una larga y fatigosa marcha por el inmenso granero, llegaron a lo alto de la duna. Un anciano de larga barba blanca, con turbante y lujosamente ataviado al estilo oriental, estaba sentado con las piernas cruzadas sobre una alfombra multicolor. A su lado, sobre la alfombra, había un tablero de ajedrez. A unos pocos metros, semihundido en la duna, un gran cuerno vomitaba un incesante y voluminoso chorro de granos de trigo, que resbalaban sobre la suave pendiente como un lento río vegetal.
 
  Alicia se acercó al anciano y, tras saludarlo educadamente, le preguntó: —¿Es verdad que con todo este trigo estás pagando una deuda? —Así es —contestó Shirham—. Hace unos dos mil años, cuando yo era rey de la India, el inventor del ajedrez me pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la anterior. —Pero eso no puede ser mucho —comentó Alicia. —Eso pensé yo —dijo el rey con un suspiro—. Pero cuando los matemáticos de la corte calcularon el número de granos que tenía que entregarle al astuto inventor, resultó que no había en el mundo trigo suficiente ni lo había habido desde el origen de los tiempos. Mira, aquí tienes la cuenta. El rey le tendió a Alicia el tablero de ajedrez. En cada casilla había un número escrito:

      —¡Qué barbaridad! —exclamó la niña—. Y encima hay que sumar todas las casillas para saber cuál es el total. —Eso es muy fácil —intervino Charlie. —¿Fácil? Una suma con 64 sumandos, y muchos de ellos enormes... —Fíjate bien; o sea, fíjate de manera ordenada y empezando por el principio, como diría la Minovaca —dijo el escritor—. Los dos primeros números suman 3, y el tercero es 4; los tres primeros números suman 7, y el cuarto es 8, los cuatro primeros números suman 15, y el quinto es 16... —¡Ya lo veo! Cada número es la suma de todos los anteriores más uno. —Exacto. Entonces, la suma de todos los números de esta serie será el doble del último menos uno, o sea, 18.446.744.073.709.551.615. En números redondos, serían unos 18 trillones y medio. —¿Y eso es mucho? No puedo imaginarme cómo es un trillón. —Nadie puede imaginárselo, es un número que se sale por completo de la modesta escala humana. Para que te hagas una idea, el cuerno de la abundancia, que figuraba entre los tesoros del rey Shirham, produce un metro cúbico de trigo por segundo, y en un metro cúbico hay unos 15 millones de granos... 

     —Entonces no puede tardar mucho en pagar la deuda. —¿Tú crees? Vamos a calcularlo. El cuerno lleva dos mil años produciendo trigo sin parar un solo instante. En un día hay 86.400 segundos, luego en un año hay unos 30 millones. En dos mil años hay, pues, unos 60.000 millones de segundos, y como cada segundo el cuerno genera 15 millones de granos, en ese tiempo ha producido alrededor de un trillón. A este ritmo, tardará más de 30.000 años en producir los 18 trillones y medio necesarios. —¡Es terrible! —se estremeció Alicia—. Me dan mareos sólo de pensarlo. Salgamos cuanto antes de este monstruoso desierto de trigo. —Tal vez el rey tenga la bondad de indicarnos la forma de salir —comentó Charlie mirando a Shirham. —Mi alfombra os llevará —dijo éste—. Pero antes tenéis que jugar conmigo una partida de ajedrez. Y además, como estoy harto de números astronómicos y plazos interminables, tendréis que ganarme en el menor número de jugadas posible. Acto seguido, el rey sacó de una caja de marfil primorosamente labrada las piezas de ajedrez y las dispuso sobre el tablero. Colocó las blancas de su lado e hizo el primer movimiento: adelantó una casilla el peón del alfil de rey. 

     —¿Cómo le vamos a ganar en el menor número de jugadas? —le susurró Alicia a Charlie—. ¡Y encima juega él con las blancas! —Eso facilitará las cosas —la tranquilizó el escritor. —¿Por qué? —Si el rey nos desafía a ganarle en el menor número de jugadas es porque ello es posible, pues de lo contrario no sería un reto honrado. Y para que sea posible, él tiene que colaborar —explicó Charlie, adelantando una casilla el peón de rey negro. —¿Y cómo sabemos que es honrado? —le preguntó Alicia en voz baja. —Un hombre que paga una deuda de 18 trillones y medio de granos de trigo tiene que ser honrado —sentenció el escritor. Shirham adelantó dos casillas su peón de caballo de rey y dijo: —Ahora tiene que jugar la niña, puesto que la primera jugada la ha hecho el hombre. —Ten en cuenta, Alicia —le advirtió Charlie—, que para que la partida sea la más corta posible tienes que ganar ya. —¿Ya? —exclamó la niña. Observó con atención la disposición de las piezas, y por fin movió la dama en diagonal hasta el borde del tablero—. ¡Jaque mate! 

El Avión y la Puerta

Prof. Maximino Rosado Soto

Tomada del libro Matemáticas-Historia de los números, símbolos y el espacio  por

IRVING ADLER , ed 1984

El Avión y la Puerta

     Julio estaba construyendo un avión de iuguete de gran tamaño en la habitación que le servía de taller. Cuando ya estaba a punto de pegar las alas al fuselaje del aeroplano, Julio pensó: "¿Pasará el avión por la puerta en cuanto las alas estén en su lugar? Las alas miden 3 1/2 metros de punta a punta, y la puerta 2 metros de anchura por 3 metros de altura." ]ulio no podría pasar el avión por la puerta, a menos que lo inclinara. Podemos ayudar a Julio a resolver su problema averiguando qué relación hay entre los lados de un triángulo rectángulo. Tracemos en una hoia de papel cuadriculado un triángulo rectángulo"de cuatro unidades de anchura (primer cateto) por tres unidades de altura ( segundo cateto ) . Midamos ahora la hipotenusa (el lado más largo ) . Este último lado tendrá cinco unidades de longitud. Construyamos otros dos triángulos rectángulos, como los del dibujo, y midamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos:

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    4                3                  5

    8                6                 10

   12               5                 13

Observemos los números correspondientes a cada triángulo; aparentemente no hay relación alguna entre ellos, pero sí existe una relación escondida entre ellos. Esta saltará a la vista si elevamos al cuadrado cada uno de los números. 4² +3² = 5², o sea 16 + 9 = 25 cada conjunto puede mostrarse.

Hace 2,500 años, Pitógoras formuló un teorema, el cual expresa que un triángulo rectángulo, el cuadrado de unos de los cotetos más el cuadrado deI segundo cateto, siernpre es igual al cuadrado de Ia hípotenusa.

Los eiemplos anteriores establecen esa regla que descubrió hace unos dos mil quinientos años Pitágoras; es decir: (cateto)²+ (cateto)²= (hipotenusa)².  Si aplicamos esta regla, nos ayudará a resolver el problema de Julio. Nos damos cuenta de que la anchura, la altura y la diagonal de Ia puerta, forman un triángulo rectángulo. Sus catetos miden, respectivamente, 2 y 3 metros. De aquí resulta: 2² +3² =4+9= 13.  Como 13 es el cuadrado de la diagonal por Ia que el avión debe pasar, tenemos que elevar al cuadrado la distancia de punta a punta de las alas, para saber si es o no más pequeña que Ia diagonal de la puerta. La distancia de punta a punta de las alas es de 3 1/2 metros. 

Por lo tanto 3 ½ X 3 ½= (3 ½)², o sea 7/2 x 7/2= 49/4 o 12 ¼

Este resultado es menor que 13; por lo tanto el aeroplano podrá pasar, ladeándolo, por la puerta. He aquí tres conjuntos de números. Sólo dos de ellos obedecen al teorema de Pitágoras.  ¿Cuáles son?

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    9                12               15

    8                15               17

   12               15               18

      Abarcando un poco más esta lectura, podemos encontrar que hay 3 valores numéricos que satisfacen el teorema de pitágoras. A estos 3 números se les llama triples pitagóricos. Esto se conoce como el recíproco del teorema de pitágoras que dice;  Si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la medida del lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo. ¿Cuántos triples pitágoricos puedes hallar?

Estos números deben satisfacer la ecuación del teorema de pitágoras   a² + b² = c².  Podemos resolver la medida de los lados de un triángulo rectángulo despejando las variables a y b en donde a²= c² - b² y b²= c²-a², de acuerdo a las medidas que se tengan de los catetos y la hipotenusa.

El señor del Censo

Prof. Maximino Rosado Soto

del libro de Paenza, Adrián    Matemática para todos - 1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.      ISBN 978-950-07-4039-5

El señor del censo

     Haga de cuenta que el corriente es uno de los años en los que cada país censa a sus habitantes. No importa en qué lugar del mundo esté, los censos suelen suceder cada diez años. El siguiente problema es —obviamente— ficticio, pero requiere de prestar atención a la forma en la que está planteado para poder encontrar la respuesta. En principio, parecería que no hay suficientes datos, pero créame, no es así. Acá va. Imagine conmigo esta historia: “el señor del censo” golpea la puerta en una casa y desde adentro contesta una señora que lo hace pasar. La dueña de casa le ofrece un café. El señor va preguntando y tomando nota de las respuestas mientras llena el formulario “tipo”. Llega un momento en que le pregunta a la señora: ¿cuántos hijos tiene usted?
—Tengo tres hijas —contesta la mujer.
—¿De qué edades? —insiste el señor del censo.
—Vea, si consideramos números enteros, el producto de las edades resulta ser 36
—vuelve a decir la señora.
—Entiendo —dice el censista —, pero todavía no puedo deducir las edades.
— Mire, me acabo de dar cuenta de que aunque le dijera la suma de las edades, usted tampoco podría deducirlo —insiste la mujer.
— Bueno, en ese caso le pido que por favor me diga algo más —dice el señor.
— En ese caso puedo agregarle que a Elena, mi hija mayor, le gustan mucho los canarios —termina diciendo la señora.
— Ahora sí —concluye el “señor del censo”—, ahora ya sé las edades.

     ¿Qué pasó? ¿Por qué ahora sí puede deducir las edades? Le propongo que antes de darse por vencido, se tome un rato y piense. Analice las posibilidades y no se someta (al menos no tan rápido) a la tentación de decir: “faltan datos”. Si me puedo permitir sugerirle algo, entreténgase con el problema tanto como pueda. Y disfrútelo. La solución está acá nomás.
Solución
Como las tres edades son números enteros, y el producto es 36, veamos cuáles son todas las posibilidades para las edades de los hijas. El número 36 puede descomponerse como producto de tres números de varias maneras. Acá está la lista completa:
36 = 1 x 1 x 36
36 = 2 x 2 x 9
36 = 2 x 3 x 6
36 = 1 x 6 x 6
36 = 3 x 3 x 4
36 = 1 x 2 x 18
36 = 1 x 4 x 9
36 = 1 x 3 x 12

Es decir, hay ocho posibles combinaciones de edades entre las tres niñas. Ahora bien: en un momento de la charla, la señora le dice al censista que “aunque le diga la suma de las edades usted tampoco podría deducirlo”. Calculemos entonces las sumas de las ocho combinaciones que escribí:
1 + 1 + 36 = 38
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
1 + 6 + 6 = 13
3 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 18 = 21
1 + 4 + 9 = 14
1 + 3 + 12 = 16

     Como se ve en esta lista, hay solamente dos sumas que se repiten, y son las ternas de números que suman 13. O sea, cuando la señora le dice al “señor del censo” que aunque le dijera la suma de las edades él no podría deducirlo, le está dando un dato extra. Por ejemplo, si ella le dijera que la suma es 38, el censista ya sabría que las edades son (1, 1, 36). O si le dijera que la suma es 11, las edades serían (2, 3, 6). Por lo tanto, las únicas dos ternas en las que la suma es igual o se repiten son:
(2, 2, 9) y (1, 6, 6).

     Ya sabemos, entonces, que tiene que ser alguna de las dos ternas. Sí, pero ¿cuál? Y acá es donde apelamos a un dato que pareciera irrelevante cuando la señora lo dijo (¿quiere volver para atrás usted y releer cada frase?). Cuando la mujer dice que a Elena, la hija mayor, le gustan los canarios, quiere decir que hay una hija mayor. O sea, hay una de las tres hermanas que es la mayor de todas. Si uno revisa las dos ternas, de las dos, la única que tiene esa propiedad es la terna (2, 2, 9) (Elena tiene 9 años entonces). La otra terna (1, 6, 6), no tiene una “hija mayor”. Eso termina por resolver el problema. Lo que parecía inocente (una vez más, parece inocente, porque es inocente) y que le faltaban datos, sin embargo, termina siendo accesible y resoluble.

El juguete más vendido de la historia

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires Sudamericana, 2012.    ISBN 978-950-07-4039-5

 

                            El juguete más vendido de la historia

¿Alguna vez se preguntó cuál es el “juguete” que más se vendió en la historia de la humanidad? ¿Cuáles podrían ser los candidatos? Pelotas y muñecas deberían estar muy arriba en el podio, ¿no? ¿Qué otros se le ocurren? No sé si es posible dar una buena respuesta. En todo caso, yo no la tengo, pero sí me sorprendió saber que hay uno del cual se vendieron más de ¡350 millones de copias en los últimos 32 años! Me estoy refiriendo a un cubo. Sí, a un cubo. No un cubo cualquiera, pero un cubo al fi n. Erno Rubik era un escultor y profesor de arquitectura húngaro que enseñaba en la Academia Nacional de Arte Aplicado en Budapest, Hungría. Nació en julio de 1944, hijo de una madre poeta y un padre que era ingeniero aeronáutico. Corría el año 1974, época en la que no había computadoras personales ni programas que permitieran reemplazar a los diseños manuales, y Rubik tenía ante sí uno de los desafíos a los que se enfrentaban los de su época (y la mía): lograr que sus alumnos pudieran “imaginar” objetos en tres dimensiones y ser capaces de visualizar —entre otros movimientos— sus posibles rotaciones y simetrías.

Como se sentía impotente y frustrado, diseñó en su casa un cubo formado por pequeños “cubitos”. Cada una de las caras del cubo grande (y por lo tanto, los nueve cuadraditos que la componen) tenía un color asignado: blanco, rojo, azul, naranja, amarillo y verde4. La particularidad del diseño es que cada cara externa y el “anillo central” pueden rotar independientemente del resto. Esto lo logró Rubik con un mecanismo interno que le permite pivotear y lograr múltiples confi guraciones. Y así nació el Rubik’s Cube o el Cubo Mágico. Rubik lo patentó en 1975 y recién en 1977 se empezó a comercializar en Hungría y en 1980 se expandió al mundo entero. Su estreno internacional se hizo en distintas ferias del juguete, en Londres, París, Nuremberg y Nueva York, y eso sucedió en un plazo de dos meses, entre enero y febrero de 1980. A partir de allí, su evolución fue imparable. Rubik se transformó en multimillonario en forma casi instantánea, y hay mucha gente que sostiene que el Cubo Mágico es hoy el “best seller” de los juguetes de la historia contemporánea. Si usted le dedica un rato a buscar en YouTube, es posible encontrar más de 46 mil videos con instrucciones y soluciones de distinto tipo, y el video que figura en la página web: http://www.youtube.com/watch?v=HsQIoPyfQzM  ya tuvo más de ¡22 millones de visitas! De hecho, ya se ha generado una cuestión de culto, con seguidores incondicionales, seminarios en distintas partes del mundo y hasta una página of cial para todos los fanáticos: http://www.rubiks.com/ El Rubik’s Cube tiene, además, un lugar en el famoso Museo de Arte Moderno de Nueva York y fue aceptado por la Enciclopedia Inglesa de Oxford a los dos años de que se hubiera esparcido por el mundo.

1.  La posición inicial del cubo es cuando cada cara es del mismo color. O sea, que los nueve cuadraditos que componen cada cara exterior son de la misma tonalidad.

El cubo

El cubo en sí mismo consiste de 27 “minicubos” con una distribución de 3 de alto por 3 de largo por 3 de ancho. En la práctica hay sólo 26 de estos pequeños “cubitos”, ya que el que debería ocupar el lugar del centro, el único que no tiene una cara exterior o que se pueda ver desde afuera sin desarmarlo, está reemplazado por el mecanismo que es el que le permite al Cubo Mágico pivotear y hacer todos los movimientos. Ése fue el gran logro de Rubik. Los 26 cubitos no son todos iguales: hay ocho “cubos esquinas”, doce “cubos aristas” y los seis restantes, ocupan los lugares del centro de cada cara exterior y están fijos. Y acá empiezan algunos cálculos. Hay 40.320 maneras(2) de permutar los cubos que están en las esquinas. Siete pueden ser orientados(3) independientemente y el octavo depende de los otros siete. A su vez, cada uno de estos cubos puede rotarse en tres posiciones diferentes y producir un total de 37 = 2.187 posibles distribuciones. Hay, además, 239.500.800 formas de intercambiar las aristas(4). Y a esta conclusión quería llegar: el número total de posiciones a las que uno puede llegar rotando el cubo es de 43.252.003.274.489.856.000. Es decir, un poco más de 43 trillones, o lo que es lo mismo, el número 43 seguido de ¡18 ceros! Para tener una idea de lo enorme que es este número, piense que si usted pudiera probar un millón de confi guraciones por segundo, tardaría casi un millón y medio de años para probarlas todas. Son muchas.

2.  Estas permutaciones están contadas por el número 8! (el factorial del número 8) = 40.320.

3.  Por orientados entiendo que pueden ser ubicados libremente sin que la posición de unos afecte a los otros.

4.  Esto resulta de dividir el factorial del número 12 por 2, o sea 12! / 2 = 239.500.800, ya que además una permutación impar de las equinas genera una permutación impar de las aristas también. Hay once aristas que se pueden intercambiar en forma independientemente, pero la duodécima depende de los movimientos de las otras once y, por lo tanto, se tienen 211 = 2.048 posiciones posibles.

La mística

Varios millones de personas en el mundo se desafían para ver quién puede resolverlo en la menor cantidad de tiempo y en la menor cantidad de pasos. Pero ¿qué quiere decir resolverlo? Llamemos “posición original” o “posición inicial” a la que presenta el cubo con cada una de las seis caras con un color que la distinga. Imagine que yo “desarreglo” esa configuración hasta llevarla a cualquier otra. Más allá de jugar a llevarlo al punto de partida, las preguntas que surgen son:

a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para garantizar (o asegurar) que uno puede llevar el cubo desde cualquier posición (8), hasta la original? b) ¿Cuál es el tiempo mínimo para hacerlo empezando con cualquier configuración?

8.  En realidad, debería decir “cualquier posición posible de acceder desde la posición original. El libro The Complete Cube Book (El libro completo del Cubo es mi traducción libre), escrito por Roger Schlafl y, demuestra que no toda disposición que uno pueda diseñar en el cubo sea “alcanzable” desde la posición inicial. Como usted advierte, si uno se inventara una posición a la que no se puede llegar desde la original, mal podría intentar volver hacia atrás.

9.  Aquí vale la misma observación que para el punto anterior

.

            Son dos preguntas de distinto orden de dificultad. Contestar la primera significa elaborar una estrategia que sirva siempre para minimizar el número de rotaciones (o movimientos permitidos). La segunda pregunta involucra aprender la estrategia diseñada eventualmente por otro, y tener una destreza manual que la primera no requiere y ni siquiera considera. Por supuesto que no se me escapa que la abrumadora mayoría de las personas se sentirían satisfechas con sólo resolver el cubo en una situación dada y listo. Es decir, enfrentados con una posición cualquiera, llevarlo a la posición inicial que tiene cada cara de un solo color. Sin embargo, para los matemáticos, ingenieros, diseñadores de estrategias y algoritmos, contestar la primera pregunta resulta relevante. Hasta febrero del año 2012 no hay una respuesta final, pero sí algunos datos parciales. Sígame porque es interesante. Se sabe que hay ciertas confi guraciones para las que inexorablemente se necesitan 20 movimientos para llevarlos a la posición inicial o de base. ¿Qué dice esto? Dice que el día que se encuentre el mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20. Recuerde que lo que se busca es encontrar el número mínimo de movimientos que resuelva cualquier posición. Si ya se sabe que hay algunas que requieren de 20, el día que se encuentre el mínimo, este mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20 entonces. Pero, por otro lado, y esto es lo que hace fascinante la búsqueda, Gene Coopman y Dan Kunkle, dos matemáticos de la Northeastern University en Illinois, Estados Unidos, demostraron que 26 movimientos son sufi cientes para garantizar que se pueda volver desde cualquier posición a la inicial. Por lo tanto, el mínimo que se busca está entre 20 y 26. El hecho de que haya una grieta entre 20 y 26, aunque sea muy pequeña, no deja satisfecho al mundo de la matemática.

Hasta que no se llegue a la situación en los que ambos coincidan, no se podrá decir que el problema está resuelto.

¿Y para qué podría servir?

Se han encontrado múltiples formas de resolver el Cubo Mágico y la mayoría, en forma independiente. La más popular durante un tiempo fue la desarrollada originalmente por David Singmaster, un matemático norteamericano profesor en Londres en la Universidad de South Bank, que publicó su solución en 1981 en el libro Notes on Rubik’s Magic Cube (Notas acerca del Cubo Mágico de Rubik). Sin embargo, fue Jessica Fridrich, también doctora en matemática, nacida en la ex Checoslovaquia y luego emigrada a Estados Unidos, quien diseñó la estrategia más reconocida mundialmente hasta hoy. Jessica es investigadora en la Universidad de Binghamton en el estado de Nueva York. Lo interesante es que su trabajo es reconocido mundialmente no solamente por haber elaborado los algoritmos más efi cientes que se conocen hasta hoy para resolver el Cubo Mágico, sino que ahora vive con otra obsesión que pretende resolver usando lo que aprendió en su experiencia con el Rubik’s Cube: dada una fotografía cualquiera, ser capaz de recorrer el camino inverso y descubrir ¡cuál fue la cámara que se utilizó para obtener la foto! Parece una tarea imposible, pero en particular el FBI y otras agencias equivalentes quieren utilizar los resultados para descubrir a malhechores que se dedican a la trata de personas o a la pornografía infantil.

Por último

Hay varias competencias internacionales para ver quien “resuelve” el cubo más rápidamente. El primer campeonato mundial del que se tiene registro se hizo en Munich en 1981, y fue organizado por la Guía Guinness de Récords. A cada participante se le entregó un cubo que había sido “movido” de su posición inicial 40 veces y lubricado con vaselina y aceites que hicieran más fácil las rotaciones. El ganador logró volver el cubo a su posición original en 38 segundos. Pero eso pasó hace mucho tiempo. Cuando Jessica Fridrich ganó la competencia que se hizo en 1982 en la ex Checoslovaquia, lo hizo en un poco más de 23 segundos. Hoy, treinta años más tarde, ese record ha sido pulverizado múltiples veces: Feliks Zemdegs, de Australia, es el rey en vigencia: resolvió el “cubo” en ¡5,66 segundos! (en julio de 2011), en Melbourne. En defi nitiva, un prototipo inocente, diseñado por un profesor húngaro para ilustrar a sus alumnos, terminó transformándose en uno de los juguetes más vendidos de la historia, con millones de personas en el mundo cautivadas y atraídas con distintos niveles de fanatismo: algunos (supongo que la enorme mayoría) sólo para entretenerse, otros para investigar cómo resolver el problema general en una cantidad mínima de pasos, y otros tantos para exhibir su destreza manual. En cualquiera de los casos, es un ejemplo más de la capacidad creativa del ser humano y un canto a la imaginación (10).

10.  Para aquellos a quienes les interese avanzar en la historia, ingeniería y algoritmos que involucran al Rubik’s Cube, les sugiero que utilicen cualquier “buscador” en Internet y basta con escribir “Rubik’s Cube” para recibir una lista de más de diez millones de páginas dedicadas a él. Si tiene tiempo y tanta curiosidad al respecto, le sugiero que lo haga.

La lotería de Ontario por Paenza Adrian

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires Sudamericana, 2012.    352 p.: il.; 22x15 cm. - (Obras diversas)

    ISBN 978-950-07-4039-5

La lotería de Ontario

  La lotería de Ontario, en Canadá maneja un presupuesto aproximado de 6 mil millones de dólares anuales. De ese dinero, más de 2.300 millones provienen del juego, de la venta de billetes de lotería y de todas las variantes de Loto que usted conozca. Tal como sucede virtualmente en todo el mundo, la pasión por desafi ar el azar y esperanzarse con la oportunidad de hacerse rico, hace que nosotros, los humanos, nos volquemos al juego en forma masiva. Algunos más, otros menos, pero inexorablemente casi todos hemos alguna vez “apostado” por algo que dependiera del azar. Y todo funciona en forma inversamente proporcional a lo que uno intuye: cuanto menor es la probabilidad de ganar, más paga la banca y, por lo tanto, pareciera que mayor es la atracción por apostar. De todas formas, creo que no cabe ninguna duda de que el juego en sí mismo es un gran negocio. En algunos casos, está en manos privadas. En otros, en manos del Estado. En Canadá, es el gobierno federal y también los distintos municipios los que manejan los ingresos. Por otro lado, esa cantidad de dinero que genera el juego invita a pensar que Ontario depende fuertemente de que la gente apueste, y cuanto más, mejor.

     

     Hasta acá, todo bien: nada distinto de lo que sucede (supongo) en todo el mundo. Decenas de miles (y lo escribo de nuevo… decenas de miles) de personas en Ontario tienen locales a la calle en los que se venden los billetes, pero también funcionan unas máquinas que sirven para elegir números que luego fi gurarán en un ticket. Si quien apuesta eligió correctamente (digamos) seis números, entonces ganará el premio mayor. Si acertó menos, el premio se va reduciendo. Los dueños y empleados de estos negocios que tienen esas máquinas/computadoras, son la cara del Estado. El 13 de julio del año 2001, hubo una pareja ganadora de 250.000 dólares. La Lotería, luego de haber hecho las verifi caciones correspondientes, escribió un cheque a nombre del matrimonio Phyllis y Scott LaPlante. Hasta acá, nada raro. En defi nitiva, la pareja pudo exhibir el ticket (que habían conseguido por un dólar) con los seis números ganadores. La probabilidad de acertar es de una en diez millones pero, como le decía, por más reducidas que sean las chances, pareciera como que siempre hay un ganador.

     Lo llamativo en el caso de los LaPlante es que eran dueños de uno de los locales en donde se emitían los tickets. El gobierno canadiense, cuando alguien gana una suma que supera los 50.000 dólares, inicia de ofi cio una investigación. En esta oportunidad, siendo los ganadores dos personas que estaban en ambos lados del “mostrador” (expendían billetes pero también los compraban), la búsqueda fue un poco más exhaustiva.  Como los dueños de los billetes son —en principio— anónimos al momento de la apuesta, una vez que alguien gana tiene que exhibir su identidad, el lugar en el que fue emitido y el día en que se produjo la transacción. Las autoridades advirtieron que esos mismos números habían sido jugados reiteradamente a lo largo de varios años y siempre en el mismo lugar: el negocio de los LaPlante. En vista de que ambos eran los dueños del local, se les pidió si podían mostrar tickets anteriores con esos números, ya que, según los registros en las computadoras ofi ciales, esos números venían siendo jugados durante muchos años. El matrimonio exhibió los tickets, los ofi ciales extendieron el cheque, y todo el mundo feliz. O no tanto. El 25 de octubre del año 2006, después de más de cinco años, el programa de televisión The Luck of the Draw (La Suerte del Sorteo), de la Canadian Broadcasting Corporation (CBC) presentó un informe que desató un escándalo. Bob Edmonds, un señor de 82 años, denunciaba una estafa que lo tenía como víctima. Frustrado porque había recurrido a las autoridades de la Lotería durante mucho tiempo, sin lograr que nadie le reconociera su derecho, Edmonds recurrió a la cadena de televisión, y encontró algunas personas que decidieron prestar atención a su historia. De inicio había un problema serio: era obvio que Edmonds no tenía el ticket que lo hubiera confi rmado como ganador. Eso hubiera sido más que sufi ciente. Sin embargo, los productores y periodistas del programa decidieron ir por un camino inesperado: contrataron a un matemático experto en estadística, Jeffrey Rosenthal de la Universidad de Toronto. Rosenthal estudió el caso durante un tiempo, y aun corriendo el riesgo de ser injusto por la cantidad de detalles que quedarán en el camino, quiero contar muy brevemente lo que hizo: recurrió a la base de datos ofi ciales de manera de que nadie pudiera dudar de su origen. En principio, detectó que los dueños y empleados de los locales que vendían los tickets con los números apostaban ellos mismos uno de cada cien dólares que se jugaban por sorteo.  O sea, el 1% de las apuestas.

Siguiendo con esa misma lógica, salvo que este grupo de personas tuviera un don particular para leer el futuro o algún tipo de “suerte especial”, ellos deberían ganar el uno por ciento de los tickets premiados. Rosenthal revisó entonces los resultados de los siete años anteriores a la emisión del programa: 1999-2005 (son siete porque se incluyen tanto el año 1999 como el 2005). Durante ese lapso, separó a quienes fueron ganadores de 50.000 dólares o más, y detectó 5.713 tickets con ese tipo de premios. Luego, si las personas que trabajaban en estos locales, convertidos en jugadores apostaban un 1% de los tickets, una estimación razonable sería suponer que ganaron aproximadamente 57 de las 5.713 veces. Bueno, no era así. Los resultados que obtuvo Rosenthal mostraban algo asombroso: las personas como los LaPlante habían ganado más de ¡200 veces! (78 de ellos eran directamente los dueños y 131 ganadores entre los empleados). Solamente en el año 2005, 31 de los ganadores fueron personas ligadas con alguno de estos negocios, y tres ganaron más de un millón de dólares. Por supuesto que ese dato tomado en forma aislada no es sufi ciente para condenar a nadie, pero es un fuerte indicio, o si usted lo prefi ere, muy sugerente. Los periodistas siguieron con la investigación que terminó con la producción del documental (que llevó el nombre de The Fifth Estate, El quinto Estado), y con el aporte de Rosenthal, descubrieron la trama subyacente. Cuando Edmonds se presentó aquel día de julio del año 2001, Phyllis LaPlante recibió el ticket y lo escaneó como hacía habitualmente para ver si le había correspondido algún premio.

2.  Si bien en todos los casos los dólares a los que me refi ero son canadienses, son casi equiparables con los dólares más populares, los estadonidenses.

La máquina sonó dos veces, indicándole que era un billete ganador… y de un premio muy importante. Por supuesto, no podía decirle que no había ganado nada, pero tampoco necesitó decirle que había ganado el premio mayor. Le extendieron un cheque por una suma ridículamente inferior y Edmonds se fue tranquilo. Al día siguiente, descubrió que algo no había funcionado bien, porque leyó en el diario que el matrimonio LaPlante había ganado el premio mayor, ¡y justo con sus números! Edmonds siempre pensó que los LaPlante eran sus amigos. De hecho, durante años había ido al mismo local a jugar siempre los mismos números. Pero no era así. Las denuncias del pobre Edmonds resultaron estériles hasta que el programa de televisión generó el escándalo sufi ciente como para que las autoridades de la Lotería tuvieran que hacer una revisión del sistema. La investigación de Rosenthal permitió concluir que no sólo los LaPlante habían producido el fraude, sino que más de 140 negocios del mismo tipo se transformaron inmediatamente en sospechosos. Si usted se está preguntando a esta altura cómo consiguieron los LaPlante los tickets antiguos que le mostraron a las autoridades, piénselo de la siguiente manera: ellos fueron conservando tickets viejos que jugaba Edmonds que nunca tuvieron —en principio— ningún valor. Pero ellos sabían bien que los números que jugaba su cliente eran siempre los mismos, y la mejor manera de poder corroborar que eran ellos los que habían ganado, era conservarlos por si eventualmente se producía esa circunstancia. Y así fue que pudieron engañar a las autoridades durante un tiempo. Lo mismo hacían con todos los clientes que repetían un patrón sistemáticamente: conservaban los tickets perdedores, por si en algún momento cambiaba la suerte. La matemática, el análisis estadístico de Rosenthal y la participación de los productores y periodistas del documental The Fifth Estate permitieron descubrir un robo no sólo en ese caso, sino que abrió las puertas para develar muchos otros que habían permanecido totalmente ignorados. La historia continúa y, fi nalmente, herida la credibilidad del sistema de juego de esa parte del Canadá, las medidas actuales parecen garantizar otro tipo de transparencia. Después de cinco años Edmonds terminó cobrando 150.000 dólares (y no los 250.000 que le hubieran correspondido), y los LaPlante fueron condenados por fraude. En todo caso, un sistema burocrático, que uno supondría más cercano a nosotros que a los canadienses, le impidió a Edmonds ser escuchado desde el primer momento. El ombudsman de la provincia de Ontario, André Marin3, produjo un informe en marzo del año 2007 detallando minuciosamente lo ocurrido y tratando de recuperar la credibilidad perdida. Esta historia —aquí muy resumida— es posible que se haya repetido múltiples veces en distintas partes del mundo: no lo sé. Lo que sí sé es que gracias a la participación de un matemático se pudo descubrir un episodio que no fue aislado. Ontario necesitó modifi car los controles que se hacían para recuperar la confi anza del público, que jugaba inconsciente de la potencial defraudación que podía sufrir. Parece una película, ¿no? Bueno, no, no fue una película, pero es una versión siglo XXI del cuento del tío. Y afortunadamente, la sociedad prepara sus anticuerpos para estas situaciones (los expertos en estadística, por ejemplo). No siempre se los utiliza y convoca como corresponde, pero merecen un reconocimiento especial. Rosenthal se lo ganó. Otros, anónimos, también.

3.   El informe de marzo del año 2007 del Ombudsman de la provincia de Ontario, en Canadá, André Marin, se puede encontrar en el sitio web: http:// www.ombudsman.on.ca/Ombudsman/files/46/46b07c62-9f83-4ef3-90a4ab7f25726941.pdf

Reloj Atómico y GPS

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires Sudamericana, 2012.     ISBN 978-950-07-4039-5

Reloj atómico y GPS

       No sé si usted escuchó hablar alguna vez de un “reloj atómico”. Lo más probable es que no. ¿Qué podrá tener un reloj para que se lo considere “atómico”? Bueno, el hecho es que la precisión de estos aparatos es verdaderamente imposible de creer. El nivel de tolerancia es el siguiente: a lo sumo pueden adelantar o retrasar no más de un segundo en los próximos… ¡60 millones de años! Un reloj atómico puede dar la hora con un nivel de exactitud de un nanosegundo, o sea, de una mil millonésima de segundo. Como se advierte, son muy precisos, casi exactos. Eso sí, las preguntas que surgen inmediatamente son: ¿a quién podría interesarle tener uno de estos relojes?, ¿para qué podría necesitarlo usted?, ¿o yo?, ¿quiénes tienen o usan estos relojes?, ¿existen de verdad? Sí, existen, y más aún: aunque usted no lo advierta, la existencia de esos relojes tiene una incidencia muy particular en nuestra vida cotidiana.

1.  (Se llama reloj atómico a un dispositivo que sincroniza una oscilación eléctrica con la oscilación de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos de un átomo de cesio 133. Justamente, la precisión se origina en que la radiación emitida por estos átomos es siempre la misma y por eso puede usarse para defi nir un segundo patrón para medir el tiempo. Desde el año 1967, el Sistema Internacional de Unidades adoptó ofi cialmente como un segundo a la duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación emitida por el Cesio 133.)

      Hace falta ese tipo de precisión para que funcione el sistema de navegación que provee el GPS. Vayamos por partes. ¿Qué quiere decir GPS? En principio, GPS es la sigla (en inglés) con la que se conoce al sistema de posicionamiento global (Global Positioning System). A lo largo de la historia, uno de los problemas a resolver con los que se enfrentó el ser humano fue el de poder determinar su posición en la Tierra: ¿dónde estoy? Mirar hacia el sol y las estrellas, buscar puntos de referencia o encontrar invariantes fueron motivo de largas búsquedas. Con la tecnología actual, el problema está resuelto para siempre. Sí, pero ¿cómo? Acá necesito pedirle un favor: lo invito  o la invito a que me siga en una pequeña cadena de argumentos. Si por cualquier motivo siente que se perdió, pare, retroceda y lea nuevamente hasta entender. Si yo pude entender, usted también. No se deje asustar porque el recorrido es sencillo, aunque no sea el que ni usted ni yo estamos acostumbrados a hacer habitualmente. Por eso el desafío, y créame que vale la pena. 
     Voy a usar una idea del matemático portugués Nuno Crato, profesor de la Universidad Técnica de Lisboa. El crédito le corresponde todo a él. Supongamos que usted se perdió en algún lugar de la selva en donde hay distribuidas algunas poblaciones. Cada pueblo tiene una iglesia, y cada iglesia hace sonar sus campanas una vez por hora: a las 12, a la 1, a las 2, y así siempre… las 24 horas del día. Para seguir con las condiciones ideales, supongamos, además, que el sonido de las campanas viaja por el aire y llega a todas partes. Entonces, es cuando usted busca se deja llevar por el sonido del la campana para dirigirse a un lugar seguro.

2.  (El detalle completo de cómo funcionan el GPS y los relojes atómicos se puede encontrar en un artículo escrito por el físico Daniel Kleppner, del Research Laboratory of Electronics at MIT (Laboratorio de Investigaciones en Electrónica del MIT, Instituto de Tecnología de Massachusetts) en la revista Science del 28 de marzo de 2008, Vol. 319, Nº 5871, págs. 1768-1769.)

     Es decir, el tañido de las campanas se escucha en todos los lugares de esa zona. Pero usted está perdido y no sabe dónde está. Lo bueno es que usted tiene un reloj. En ese reloj pulsera, usted ve que son las 3 de la tarde exactas. De pronto, escucha el sonido de una campana. Pero ya no son las 3. Pasaron 17 segundos en su reloj. Son las 3 horas y 17 segundos. Eso quiere decir que, desde alguna iglesia, el sonido tardó 17 segundos en llegar hasta usted. Como la velocidad del sonido (aproximada) es de 340 metros por segundo, eso significa que el sonido recorrió (340 x 17) = 5.780 metros hasta llegar a usted. Casi 6 kilómetros. Si uno trazara una circunferencia de radio 5.780 metros con centro en esa iglesia, usted sabe que está parado en algún lugar de esa circunferencia. Primer dato entonces: usted sabe que uno de los pueblos está a unos 6 kilómetros de distancia de su posición. De pronto, usted escucha otra campana y se fija inmediatamente en su reloj. Esta vez, el sonido tardó 26 segundos en llegarle. Luego, haciendo el mismo cálculo, usted sabe que ese sonido recorrió (340 x 26) = 8.840 metros desde las 3 de la tarde. O sea, hay otra iglesia, de otro pueblo, que está a casi 9 kilómetros de donde está usted. Eso significa que si trazáramos otra circunferencia con centro en esa iglesia, de radio 8.840 metros, usted está en algún lugar de esa circunferencia. En consecuencia, usted tiene que estar en alguno de los dos puntos en donde se cruzan esas circunferencias. No sabe en cuál de los dos (todavía), pero está en alguno de los dos.

3.  (La velocidad del sonido es aproximadamente de 1.230 kilómetros por hora, o bien —según la temperatura y de la altura con respecto al nivel del mar— de 340 metros por segundo. Es decir, el sonido recorre 340 metros cada segundo.)

     Por último, si usted pudiera escuchar el sonido de una tercera campana y repitiera el procedimiento anterior, eso le quitaría todas las dudas y diría en cuál de los dos puntos anteriores estaba parado. Como usted ve, el procedimiento no es complicado. Me tuvo que conceder algunas licencias para llegar hasta acá, pero no fue difícil. Uno se lo puede imaginar sin problemas, siempre y cuando aceptemos que todo esto está sucediendo sobre una superficie plana, es decir, en dos dimensiones y todos los pueblos están sobre esa misma superficie. Ni bien usted agrega una tercera dimensión (además del largo y el ancho, también la altura, ya que vivimos en un espacio tridimensional), entonces, los círculos se transforman en esferas y para resolver bien el problema haría falta una cuarta iglesia. Pero lo que me importa es trasladar la idea del funcionamiento y no las condiciones exactas, que ciertamente son distintas de las planteadas en el ejemplo de las iglesias y las campanas. Ahora quiero volver al GPS. El sistema GPS consiste de tres elementos: una red de satélites, estaciones terrenas de control de esos satélites y receptores (que son los que usamos nosotros, como si fueran receptores de radio o de televisión). En el caso del GPS, los que hacen el papel de las campanas de las iglesias, son los satélites. En realidad, son 24 satélites, que se conocen con el nombre de Navstar. Las órbitas que describen están ubicadas en seis planos y permiten garantizar que en cualquier lugar de la Tierra que usted se encuentre, podrá recibir las señales que emitan por lo menos cuatro de esos satélites.

4.  (Los satélites emiten ondas electromagnéticas, que no son sonoras por cierto. Estas ondas viajan a la velocidad de la luz, que es de 300.000 kilómetros ¡por segundo! El ejemplo de las iglesias y el tañido de las campanas es sólo una licencia que me permite presentar el problema.)

     El primero de ellos fue lanzado en 1978 y el último, el 26 de junio de 1993. Cada uno pesa unos 900 kilos, tiene el tamaño de un automóvil mediano y gira alrededor de la Tierra a 18.000 kilómetros de altura. La velocidad a la que avanzan les permite dar dos veces la vuelta al mundo por día. Los fabricó la empresa Rockwell International. Cada satélite transmite una señal de radio digital en forma continua que indica dónde está el satélite en cada momento y la hora en la que está enviando la señal, con la precisión de un nanosegundo. Piense que un “nanosegundo” significa 0,000000001 de segundo, o sea, una “mil millonésima parte de un segundo”. Como se ve, hace falta la precisión que solamente un reloj atómico puede ofrecer. Ahora, volvamos a usted. ¿Qué necesita para poder conocer su posición sobre la Tierra? Necesita tener un aparato que pueda leer e interpretar las señales que envían esos satélites. Ese aparato es el que ahora viene incluido en varios teléfonos celulares inteligentes o en algunos autos o embarcaciones, y, por supuesto, imprescindible hoy para la aeronavegación. Usted enciende su aparato receptor (que voy a llamar GPS) y quiere saber dónde está. Su GPS recibe las señales de por lo menos cuatro de los satélites. Ahora le pido que me siga con este razonamiento. Cada señal que su aparato recibe indica la hora exacta en la que fue emitida por cada satélite. Obviamente, como los satélites están en órbitas diferentes, están a distancias distintas del aparato que usted está usando. Por lo tanto, tardan distintos tiempos en llegar a usted. Uno podría decir, “sí, pero ¿cuánta puede ser la diferencia?”. MUCHA.

     Es que si bien las señales viajan a la velocidad de la luz (que es de 300 mil kilómetros por segundo), igualmente, algo tardan. Y cada señal tarda un tiempo diferente porque es emitida por un satélite diferente (como antes eran las campanas de las distintas iglesias). Esas DIFERENCIAS son las que permiten calcular su posición con un error de algunos metros. Por ejemplo, si la hora en la que el satélite emitió su señal es una milésima de segundo anterior a la hora de su GPS, entonces eso indica que usted está ubicado a 300 kilómetros del satélite. Si dos personas están ubicadas aun a una cuadra de distancia, el tiempo que tarda la señal desde cada satélite es diferente, aunque “infi nitamente pequeño”. Ser capaz de poder detectar esa sutil diferencia, es lo que permite distinguir que uno está en un lugar y otra persona a 100 metros de distancia. Lo notable, entonces, es haber logrado ese nivel de precisión, que es medido en nanosegundos y, por lo tanto, detectables solamente por los relojes atómicos. ¿Por qué hacen falta las señales de cuatro satélites? Porque como ninguno de nosotros anda con un reloj atómico por la calle (son muy caros y muy escasos también), tres de los satélites aportan los datos que hacen falta para calcular la latitud y la longitud, pero el cuarto es el que funciona como factor corrector de nuestro reloj. De esa forma evita que uno tenga que llevar en su muñeca un reloj de esas características. Alcanza con que su aparato de GPS tenga un buen reloj de cuarzo, que ahora son muy baratos. Si usted tiene un receptor de GPS en su automóvil o en su teléfono celular, ahora sabe que ese aparatito sirve para recibir las señales de los (por lo menos) cuatro satélites y, de esa forma, le alcanza para determinar su posición con un margen de error de algunos metros.

5.  (Sucede que al ser la velocidad de la luz de 300 mil kilómetros por segundo, si hay una milésima de segundo entre la emisión de la señal y la recepción, eso significa que esa señal viajó 300 kilómetros. Aunque parezca increíble, en un nanosegundo, la luz viaja ¡30 centímetros!)

     Para garantizar ese tipo de precisión, cada satélite está equipado con cuatro relojes atómicos que le permiten calcular el tiempo con una precisión que no existió jamás. La posibilidad de haber accedido a este tipo de tecnología se produjo por la intervención de científi cos de distintas áreas: ingenieros, físicos, matemáticos, entre otros. Cada uno de ellos fue pensando en cosas distintas, y posiblemente no imaginaron que su producción en ciencia básica tendría una aplicación tan determinante en nuestra vida cotidiana. Por eso, cuando uno se tropieza con alguien que dice “¿y para qué podría querer uno tener tanta precisión?”, es posible que la respuesta no sea inmediata, pero el tiempo y la evolución del hombre llevan a pensar que uno, a veces, está contestando preguntas futuras y no solamente las actuales. Y de eso se trata: de producir ciencia todos los días.

6.  (En realidad, como usted advierte, el cuarto satélite se utiliza como “corrector” y pareciera como que invalida la necesidad de tener cuatro satélites por el hecho de vivir en un mundo tridimensional.) 

     Sin embargo, en esencia, el GPS nos provee de la latitud y la longitud, como si viviéramos en un mundo plano, a pesar de que el sistema podría proveer la “altura” también, si fuera necesario.

Responde a 3 preguntas:

1) ¿Cómo puedes obtener el tiempo de llegada y  la distancia desde el pueblo de Lares a San Juan utilizndo el GPS de tu teléfono celular? Sugerencia usa google maps de tu teléfono celular.

2) ¿Qué nivel de exactitud tiene un reloj atómico para dar la hora?

3) ¿Cuánto es el mínimo de satélites que se necesitan para que se logre tener la señal del GPS y logre saber el lugar o la posición en donde se encuentra?