El Avión y la Puerta

Prof. Maximino Rosado Soto

Tomada del libro Matemáticas-Historia de los números, símbolos y el espacio  por

IRVING ADLER , ed 1984

El Avión y la Puerta

     Julio estaba construyendo un avión de iuguete de gran tamaño en la habitación que le servía de taller. Cuando ya estaba a punto de pegar las alas al fuselaje del aeroplano, Julio pensó: "¿Pasará el avión por la puerta en cuanto las alas estén en su lugar? Las alas miden 3 1/2 metros de punta a punta, y la puerta 2 metros de anchura por 3 metros de altura." ]ulio no podría pasar el avión por la puerta, a menos que lo inclinara. Podemos ayudar a Julio a resolver su problema averiguando qué relación hay entre los lados de un triángulo rectángulo. Tracemos en una hoia de papel cuadriculado un triángulo rectángulo"de cuatro unidades de anchura (primer cateto) por tres unidades de altura ( segundo cateto ) . Midamos ahora la hipotenusa (el lado más largo ) . Este último lado tendrá cinco unidades de longitud. Construyamos otros dos triángulos rectángulos, como los del dibujo, y midamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos:

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    4                3                  5

    8                6                 10

   12               5                 13

Observemos los números correspondientes a cada triángulo; aparentemente no hay relación alguna entre ellos, pero sí existe una relación escondida entre ellos. Esta saltará a la vista si elevamos al cuadrado cada uno de los números. 4² +3² = 5², o sea 16 + 9 = 25 cada conjunto puede mostrarse.

Hace 2,500 años, Pitógoras formuló un teorema, el cual expresa que un triángulo rectángulo, el cuadrado de unos de los cotetos más el cuadrado deI segundo cateto, siernpre es igual al cuadrado de Ia hípotenusa.

Los eiemplos anteriores establecen esa regla que descubrió hace unos dos mil quinientos años Pitágoras; es decir: (cateto)²+ (cateto)²= (hipotenusa)².  Si aplicamos esta regla, nos ayudará a resolver el problema de Julio. Nos damos cuenta de que la anchura, la altura y la diagonal de Ia puerta, forman un triángulo rectángulo. Sus catetos miden, respectivamente, 2 y 3 metros. De aquí resulta: 2² +3² =4+9= 13.  Como 13 es el cuadrado de la diagonal por Ia que el avión debe pasar, tenemos que elevar al cuadrado la distancia de punta a punta de las alas, para saber si es o no más pequeña que Ia diagonal de la puerta. La distancia de punta a punta de las alas es de 3 1/2 metros. 

Por lo tanto 3 ½ X 3 ½= (3 ½)², o sea 7/2 x 7/2= 49/4 o 12 ¼

Este resultado es menor que 13; por lo tanto el aeroplano podrá pasar, ladeándolo, por la puerta. He aquí tres conjuntos de números. Sólo dos de ellos obedecen al teorema de Pitágoras.  ¿Cuáles son?

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    9                12               15

    8                15               17

   12               15               18

      Abarcando un poco más esta lectura, podemos encontrar que hay 3 valores numéricos que satisfacen el teorema de pitágoras. A estos 3 números se les llama triples pitagóricos. Esto se conoce como el recíproco del teorema de pitágoras que dice;  Si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la medida del lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo. ¿Cuántos triples pitágoricos puedes hallar?

Estos números deben satisfacer la ecuación del teorema de pitágoras   a² + b² = c².  Podemos resolver la medida de los lados de un triángulo rectángulo despejando las variables a y b en donde a²= c² - b² y b²= c²-a², de acuerdo a las medidas que se tengan de los catetos y la hipotenusa.