Prof. Maximino Rosado Soto
Lectura del Libro
Matemáticas para todos de Paenza,
Adrián - 1a ed. - Buenos Aires
El juguete más vendido de la historia
¿Alguna vez se preguntó cuál es el “juguete” que más se
vendió en la historia de la humanidad? ¿Cuáles podrían ser los candidatos?
Pelotas y muñecas deberían estar muy arriba en el podio, ¿no? ¿Qué otros se le
ocurren? No sé si es posible dar una buena respuesta. En todo caso, yo no la
tengo, pero sí me sorprendió saber que hay uno del cual se vendieron más de
¡350 millones de copias en los últimos 32 años! Me estoy refiriendo a un cubo.
Sí, a un cubo. No un cubo cualquiera, pero un cubo al fi n. Erno Rubik era un
escultor y profesor de arquitectura húngaro que enseñaba en la Academia
Nacional de Arte Aplicado en Budapest, Hungría. Nació en julio de 1944, hijo de
una madre poeta y un padre que era ingeniero aeronáutico. Corría el año 1974,
época en la que no había computadoras personales ni programas que permitieran
reemplazar a los diseños manuales, y Rubik tenía ante sí uno de los desafíos a
los que se enfrentaban los de su época (y la mía): lograr que sus alumnos
pudieran “imaginar” objetos en tres dimensiones y ser capaces de visualizar
—entre otros movimientos— sus posibles rotaciones y simetrías.
Como se sentía impotente y frustrado, diseñó en su casa un
cubo formado por pequeños “cubitos”. Cada una de las caras del cubo grande (y
por lo tanto, los nueve cuadraditos que la componen) tenía un color asignado:
blanco, rojo, azul, naranja, amarillo y verde4. La particularidad del diseño es
que cada cara externa y el “anillo central” pueden rotar independientemente del
resto. Esto lo logró Rubik con un mecanismo interno que le permite pivotear y
lograr múltiples confi guraciones. Y así nació el Rubik’s Cube o el Cubo
Mágico. Rubik lo patentó en 1975 y recién en 1977 se empezó a comercializar en
Hungría y en 1980 se expandió al mundo entero. Su estreno internacional se hizo
en distintas ferias del juguete, en Londres, París, Nuremberg y Nueva York, y
eso sucedió en un plazo de dos meses, entre enero y febrero de 1980. A partir
de allí, su evolución fue imparable. Rubik se transformó en multimillonario en
forma casi instantánea, y hay mucha gente que sostiene que el Cubo Mágico es
hoy el “best seller” de los juguetes de la historia contemporánea. Si usted le
dedica un rato a buscar en YouTube, es posible encontrar más de 46 mil videos
con instrucciones y soluciones de distinto tipo, y el video que figura en la
página web: http://www.youtube.com/watch?v=HsQIoPyfQzM ya tuvo más de ¡22 millones de visitas! De
hecho, ya se ha generado una cuestión de culto, con seguidores incondicionales,
seminarios en distintas partes del mundo y hasta una página of cial para todos
los fanáticos: http://www.rubiks.com/ El Rubik’s Cube tiene, además, un lugar
en el famoso Museo de Arte Moderno de Nueva York y fue aceptado por la
Enciclopedia Inglesa de Oxford a los dos años de que se hubiera esparcido por
el mundo.
1.
La posición inicial del cubo es cuando cada cara es del mismo color. O
sea, que los nueve cuadraditos que componen cada cara exterior son de la misma
tonalidad.
El cubo
El cubo en
sí mismo consiste de 27 “minicubos” con una distribución de 3 de alto por 3 de
largo por 3 de ancho. En la práctica hay sólo 26 de estos pequeños “cubitos”,
ya que el que debería ocupar el lugar del centro, el único que no tiene una
cara exterior o que se pueda ver desde afuera sin desarmarlo, está reemplazado
por el mecanismo que es el que le permite al Cubo Mágico pivotear y hacer todos
los movimientos. Ése fue el gran logro de Rubik. Los 26 cubitos no son todos
iguales: hay ocho “cubos esquinas”, doce “cubos aristas” y los seis restantes,
ocupan los lugares del centro de cada cara exterior y están fijos. Y acá
empiezan algunos cálculos. Hay 40.320 maneras(2) de permutar los cubos que están
en las esquinas. Siete pueden ser orientados(3) independientemente y el octavo
depende de los otros siete. A su vez, cada uno de estos cubos puede rotarse en
tres posiciones diferentes y producir un total de 37 = 2.187 posibles
distribuciones. Hay, además, 239.500.800 formas de intercambiar las aristas(4). Y
a esta conclusión quería llegar: el número total de posiciones a las que uno
puede llegar rotando el cubo es de 43.252.003.274.489.856.000. Es decir, un
poco más de 43 trillones, o lo que es lo mismo, el número 43 seguido de ¡18
ceros! Para tener una idea de lo enorme que es este número, piense que si usted
pudiera probar un millón de confi guraciones por segundo, tardaría casi un
millón y medio de años para probarlas todas. Son muchas.
2. Estas
permutaciones están contadas por el número 8! (el factorial del número 8) =
40.320.
3. Por
orientados entiendo que pueden ser ubicados libremente sin que la posición de
unos afecte a los otros.
4. Esto resulta
de dividir el factorial del número 12 por 2, o sea 12! / 2 = 239.500.800, ya
que además una permutación impar de las equinas genera una permutación impar de
las aristas también. Hay once aristas que se pueden intercambiar en forma
independientemente, pero la duodécima depende de los movimientos de las otras
once y, por lo tanto, se tienen 211 = 2.048 posiciones posibles.
La mística
Varios
millones de personas en el mundo se desafían para ver quién puede resolverlo en
la menor cantidad de tiempo y en la menor cantidad de pasos. Pero ¿qué quiere
decir resolverlo? Llamemos “posición original” o “posición inicial” a la que
presenta el cubo con cada una de las seis caras con un color que la distinga.
Imagine que yo “desarreglo” esa configuración hasta llevarla a cualquier otra.
Más allá de jugar a llevarlo al punto de partida, las preguntas que surgen son:
a) ¿Cuál es
el número mínimo de movimientos necesarios para garantizar (o asegurar) que uno
puede llevar el cubo desde cualquier posición (8), hasta la original? b) ¿Cuál es
el tiempo mínimo para hacerlo empezando con cualquier configuración?
8. En realidad,
debería decir “cualquier posición posible de acceder desde la posición
original. El libro The Complete Cube Book (El libro completo del Cubo es mi
traducción libre), escrito por Roger Schlafl y, demuestra que no toda
disposición que uno pueda diseñar en el cubo sea “alcanzable” desde la posición
inicial. Como usted advierte, si uno se inventara una posición a la que no se
puede llegar desde la original, mal podría intentar volver hacia atrás.
9. Aquí vale la
misma observación que para el punto anterior
.
Son
dos preguntas de distinto orden de dificultad. Contestar la primera significa
elaborar una estrategia que sirva siempre para minimizar el número de
rotaciones (o movimientos permitidos). La segunda pregunta involucra aprender
la estrategia diseñada eventualmente por otro, y tener una destreza manual que
la primera no requiere y ni siquiera considera. Por supuesto que no se me
escapa que la abrumadora mayoría de las personas se sentirían satisfechas con
sólo resolver el cubo en una situación dada y listo. Es decir, enfrentados con
una posición cualquiera, llevarlo a la posición inicial que tiene cada cara de
un solo color. Sin embargo, para los matemáticos, ingenieros, diseñadores de
estrategias y algoritmos, contestar la primera pregunta resulta relevante.
Hasta febrero del año 2012 no hay una respuesta final, pero sí algunos datos
parciales. Sígame porque es interesante. Se sabe que hay ciertas confi
guraciones para las que inexorablemente se necesitan 20 movimientos para
llevarlos a la posición inicial o de base. ¿Qué dice esto? Dice que el día que
se encuentre el mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20. Recuerde que lo que
se busca es encontrar el número mínimo de movimientos que resuelva cualquier
posición. Si ya se sabe que hay algunas que requieren de 20, el día que se
encuentre el mínimo, este mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20 entonces.
Pero, por otro lado, y esto es lo que hace fascinante la búsqueda, Gene Coopman
y Dan Kunkle, dos matemáticos de la Northeastern University en Illinois,
Estados Unidos, demostraron que 26 movimientos son sufi cientes para garantizar
que se pueda volver desde cualquier posición a la inicial. Por lo tanto, el
mínimo que se busca está entre 20 y 26. El hecho de que haya una grieta entre
20 y 26, aunque sea muy pequeña, no deja satisfecho al mundo de la matemática.
Hasta que no
se llegue a la situación en los que ambos coincidan, no se podrá decir que el
problema está resuelto.
¿Y para qué podría servir?
Se han encontrado múltiples formas de resolver el Cubo Mágico
y la mayoría, en forma independiente. La más popular durante un tiempo fue la
desarrollada originalmente por David Singmaster, un matemático norteamericano
profesor en Londres en la Universidad de South Bank, que publicó su solución en
1981 en el libro Notes on Rubik’s Magic Cube (Notas acerca del Cubo Mágico de
Rubik). Sin embargo, fue Jessica Fridrich, también doctora en matemática,
nacida en la ex Checoslovaquia y luego emigrada a Estados Unidos, quien diseñó
la estrategia más reconocida mundialmente hasta hoy. Jessica es investigadora
en la Universidad de Binghamton en el estado de Nueva York. Lo interesante es
que su trabajo es reconocido mundialmente no solamente por haber elaborado los
algoritmos más efi cientes que se conocen hasta hoy para resolver el Cubo
Mágico, sino que ahora vive con otra obsesión que pretende resolver usando lo
que aprendió en su experiencia con el Rubik’s Cube: dada una fotografía
cualquiera, ser capaz de recorrer el camino inverso y descubrir ¡cuál fue la
cámara que se utilizó para obtener la foto! Parece una tarea imposible, pero en
particular el FBI y otras agencias equivalentes quieren utilizar los resultados
para descubrir a malhechores que se dedican a la trata de personas o a la
pornografía infantil.
Por último
Hay varias competencias internacionales para ver quien
“resuelve” el cubo más rápidamente. El primer campeonato mundial del que se
tiene registro se hizo en Munich en 1981, y fue organizado por la Guía Guinness
de Récords. A cada participante se le entregó un cubo que había sido “movido”
de su posición inicial 40 veces y lubricado con vaselina y aceites que hicieran
más fácil las rotaciones. El ganador logró volver el cubo a su posición
original en 38 segundos. Pero eso pasó hace mucho tiempo. Cuando Jessica
Fridrich ganó la competencia que se hizo en 1982 en la ex Checoslovaquia, lo
hizo en un poco más de 23 segundos. Hoy, treinta años más tarde, ese record ha
sido pulverizado múltiples veces: Feliks Zemdegs, de Australia, es el rey en
vigencia: resolvió el “cubo” en ¡5,66 segundos! (en julio de 2011), en
Melbourne. En defi nitiva, un prototipo inocente, diseñado por un profesor
húngaro para ilustrar a sus alumnos, terminó transformándose en uno de los
juguetes más vendidos de la historia, con millones de personas en el mundo
cautivadas y atraídas con distintos niveles de fanatismo: algunos (supongo que
la enorme mayoría) sólo para entretenerse, otros para investigar cómo resolver
el problema general en una cantidad mínima de pasos, y otros tantos para exhibir
su destreza manual. En cualquiera de los casos, es un ejemplo más de la
capacidad creativa del ser humano y un canto a la imaginación (10).
10. Para aquellos a
quienes les interese avanzar en la historia, ingeniería y algoritmos que
involucran al Rubik’s Cube, les sugiero que utilicen cualquier “buscador” en
Internet y basta con escribir “Rubik’s Cube” para recibir una lista de más de
diez millones de páginas dedicadas a él. Si tiene tiempo y tanta curiosidad al
respecto, le sugiero que lo haga.
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