Prof. Maximino Rosado Soto
Núm3ros
El 23 de enero del año 2005, hizo su
debut televisivo en los Estados Unidos, en horario central, una serie que pocos
sospecharon que tendría tanto éxito: NUMB3RS. Si bien aparecían todos los
ingredientes que suelen atrapar a las grandes audiencias (crímenes,
persecuciones policiales, incógnitas a develar, dramas pasionales, distintos
niveles de corrupción y una larga lista de etcéteras), aparecía una componente
totalmente inesperada: uno de los héroes era un matemático, Charles Eppes (1).
Pero Charles no estaba solo. En la ficción, era el hermano menor de Don, un
agente de la FBI a quien ayudaba usando la matemática para descubrir, identificar y atrapar a los criminales. La serie culminó el 12 de marzo de 2010 y
representó la primera aparición de un matemático en un lugar tan protagónico
dentro de la televisión norteamericana, con la obvia incidencia que tiene en
todo el mundo (occidental al menos). Los capítulos exhibieron la potencialidad
de distintas herramientas que provee la matemática para entender los patrones que
aparecen en la vida real y, por otro lado, pusieron de manifiesto la potencia
extraordinaria que permite su uso.
1. David Krumholtz en la vida real. La
serie fue creada por el matrimonio Cheryl Heuton y Nicolas Falacci, y producida
por los hermanos Ridley y Tony Scott.
Lo que
quiero hacer aquí es extraer un segmento de uno de los episodios (2) y
proponerle a usted que haga de “detective” y luego analicemos juntos si sus
conjeturas son válidas o son vulnerables. Acá va. En una pequeña ciudad hay dos
compañías de taxi que prestan servicio: los Amarillos y los Negros. Como la
población no es muy importante, el número de vehículos tampoco lo es: los
amarillos son 15 y los negros, 75. A los efectos del planteo del problema (que
por supuesto involucra condiciones que uno considera “ideales”), podemos
suponer que los 90 taxis estaban circulando en el momento en el que se produce
el accidente que paso a relatar. Un testigo ve el accidente y dice que un taxi
amarillo fue el culpable. Ante un requerimiento de la policía, el testigo se
somete a distintos tests para detectar cuán confi able es su visión, teniendo
en cuenta las condiciones que rodearon el episodio (de noche, con poca
visibilidad, con una garúa pertinaz), y cuando se le presentaron aleatoriamente
taxis amarillos y negros, demostró que los pudo identifi car correctamente 4 de
5 veces. O sea, en sólo una de cinco veces confundía uno amarillo con uno negro
y viceversa. Ahora, le pregunto: “Si usted estuviera investigando el caso, y
tuviera los datos que fi guran más arriba, ¿de qué color cree que era el taxi
culpable?”.
2. Extraído del libro ''Numbers Behind the Numb3rs''
(Números detrás de los Núm3ros), publicado en el año 2007 por la Editorial
Plume, y cuyos autores son Kevin Devlin (uno de los gurúes de la divulgación de
la matemática en el mundo) y Gary Lorden, profesor en Cal-Tech en Pasadena,
California, quien fue el jefe de los consultores sobre temas matemáticos que
tuvo la serie.
Como siempre, la/lo invito a que se detenga
un rato, lea el planteo del problema y, sin apuro, piense qué le parece que es
lo más probable que haya pasado: ¿fue amarillo o negro el taxi involucrado en
el accidente? Ahora sigo yo. La tentación es contestar: “Vea, si el testigo
acertó en cuatro de cinco veces (el 80%) el color del taxi, y como dijo que él
vio un taxi amarillo, entonces, es un 80% probable que el taxi FUERA de color
amarillo. ¡Qué duda cabe!”. Bueno, caben muchas dudas. Y ahora le pido que me
acompañe en este razonamiento. Analicemos juntos las distintas posibilidades.
Es decir, voy a escribir todos los casos posibles (que en total son cuatro):
1) que el taxi fuera amarillo y que el testigo lo
distinguiera correctamente,
2) que el taxi fuera amarillo y que el testigo se
equivocara y dijera negro,
3) que el taxi fuera negro y que el testigo lo
distinguiera correctamente, o
4) que el taxi fuera negro y que el testigo se
equivocara y dijera amarillo.
En el caso
(1), como hay 15 taxis amarillos y el testigo distingue correctamente el 80% de
los vehículos, eso quiere decir que acertaría en 12 casos (ya que el 80% de 15
es 12).
En el caso
(2), el testigo se equivocaría diciendo negro cuando es amarillo en el 20% de
las 15 veces que los viera, o sea, 3 veces.
En el caso
(3), como hay 75 taxis negros y el testigo distingue correctamente el 80% de
los vehículos, acertaría el 80% de 75 que es 60.
Y en el
último caso, el (4), el testigo se equivocaría en el 20% de los 75, es decir,
en 15 oportunidades, y diría que lo que vio es un taxi amarillo cuando en
realidad es negro. Resumo todo ahora.
|
Taxi Color
|
Número total
|
Acierta
|
Se equivoca
|
|
Amarillo
|
15
|
12
|
3
|
|
Negro
|
75
|
60
|
15
|
Es decir,
el testigo diría amarillo en 27 oportunidades: 12 serían correctas, y 15
incorrectas. Luego, la probabilidad de que haya descripto la verdad cuando dijo
que el taxi era amarillo se calcula dividiendo 12 por 27 (3). Y ahora, fíjese
entonces que 12 / 27 = 0.44…
O sea, que el testigo ¡describe la
realidad en un poco más del 44% de las veces! Es más probable que el taxi sea
negro que amarillo28. Y a eso quería llegar. La tentación inicial era decir
que, de acuerdo con los datos, el taxi tenía un 80% de posibilidades de ser
amarillo, pero cuando uno estudia el caso en forma global, incluyendo toda la
información que tiene, descubre que la conclusión inicial es equivocada.
3. Es que el señor dice en total “amarillo” 27
veces, pero de esas 27 solamente 12 son correctas. Por eso, la probabilidad de
que sea amarillo se calcula dividiendo esos dos números: 12 / 27 = (aprox.)
0,44444… O sea, las posibilidades de que sea amarillo superan el 44,44%.
28. O sea, el 56% restante.
Le propongo que lo piense así: si el
testigo sólo hubiera tenido que atestiguar si en el accidente hubo involucrado
un taxi, independientemente del color, entonces ¿qué cree que hubiera dicho?
Teniendo en cuenta que circulando hay 90 taxis de los cuales 75 son negros, y
que de acuerdo con los tests de “confiabilidad” esta persona acierta en un 80%
de los casos, lo más probable es que su conclusión hubiera sido que el taxi era
de color negro. Por lo tanto, antes de que tenga que defi nir color, las
chances de que fuera amarillo eran muy bajas: 15 sobre 90, o sea un poco más
del 16,6%. No obstante, ni bien es invitado a definir el color, cuando dice
haber visto un taxi amarillo, la probabilidad de que sea amarillo aumenta, por
supuesto, pero no tanto como para superar el 50% y transformar en más probable
el color amarillo sobre el negro. Una vez más, la matemática sirve de ayuda
esencial para esclarecer una situación que, de otra forma, terminaría
incriminando a un inocente. Cada vez me parece más imperioso empezar a enseñar
el estudio de probabilidades y estadística en los estamentos iniciales de las
escuelas. Quizás en otra época no era tan necesario (y no estoy tan seguro),
pero abordar temas de matemática combinatoria y su consecuente aplicación a la
vida cotidiana empieza a transformarse en algo cada vez más imprescindible para
la educación de una persona.
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