La Falacia del Jugador

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires

La Falacia del Jugador

      El 18 de agosto del año 1913, en una de las ruletas del casino de Monte Carlo se produjo un episodio inusual: el color negro se repitió veintiséis veces seguidas. No es difícil imaginar lo que sucedió en ese período. La gente dejó de jugar en las otras mesas para tratar de espiar —aunque sea desde lejos— lo que consideraba un hecho histórico. De hecho, lo fue. No hay registros serios de que hubiera habido una tira de un solo color de mayor longitud en ningún otro casino en el mundo. Antes de avanzar, me gustaría hacerle una pregunta: si usted hubiera estado allí en ese momento, y hubiera podido apostar, ¿a qué color hubiera jugado su dinero a medida que avanzaba la seguidilla? ¿Colorado o negro? Es decir, en vistas de la sucesión de números de color negro que se repetían, ¿hubiera intentado cortar la racha, jugando a colorado, o se hubiera mantenido en el negro? Obviamente, no puedo escuchar su respuesta, pero lo que sí puedo es contarle algo que nos sucede a todos los humanos (bueno… a la mayoría de nosotros): la tentación es jugar al otro color (en este caso colorado) porque —uno supone— que por la ley de probabilidades “es hora de que salga el otro”.

     Es decir, como uno sabe que la probabilidad de que aparezca cada color (colorado o negro) es la misma (casi ⁽¹⁾ un 50% de las veces) , la inclinación natural es asumir que la serie consecutiva de “números negros” tiene que detenerse. Algo así como “¡le toca salir a un número colorado ahora!” ⁽²⁾. Y es aquí donde aparece lo que se llama “La Falacia del Jugador”. Esa suposición de que “ahora tiene que salir colorado” es ciertamente un error. La ruleta no tiene memoria. Lea esa frase una vez más: “La ruleta no tiene memoria”. Cada tiro es INDEPENDIENTE del anterior. Nosotros, los que estamos afuera, llevamos la contabilidad y nos parece que como la probabilidad de que aparezca uno u otro color es la misma, entonces si salió lo que nosotros entendemos como una seguidilla de un color, debería compensarse con el otro color en algún momento. Y sobre todo, uno no quiere perdérselo porque sabe que en algún momento ¡tiene que suceder! La “racha” tiene que cambiar. Bien: eso es lo que más espera el casino. En realidad, lamento informar que… ¡no tiene por qué pasar! Más aún: aunque no pase, eso no altera la igualdad en la probabilidad de uno y otro.

1.     En realidad, no es el 50% porque las ruletas tienen o bien un número cero (que no tiene color) o algunas veces tienen además del cero un “doble cero”, que tampoco tiene color. O sea, en principio, de los 37 números que fi guran en el tambor, hay 18 colorados y 18 negros. El único (que suele ser de “color verde” es el cero.

Por eso, la probabilidad de que salga colorado (o negro) es 18 / 37 = (aprox.) 0,4864, es decir, un poco más del 48,64%. Si, además, hubiera doble cero, la probabilidad de que salga un colorado (o negro) es de 18 / 38 = 0,4736 (aprox.), lo que sígnifica que un poco más de un 47,36%.

2.       Otros ejemplos equivalentes: a) el número 7 (colorado) apareció seis veces seguidas en el Caesars Palace, en Las Vegas, en la mesa 211, el 14 de julio del año 2000; y b) en la ciudad de Bloomington, unos 200 kilómetros al sur de Chicago, el número 5 se repitió cinco veces consecutivas. William Nelson Darnborough, nativo del lugar, hizo saltar la banca apostando virtualmente todo lo que fue ganando en cada jugada.

     Me explico. Como decía antes, la ruleta (en este caso) no tiene memoria. Lo que pasó antes es irrelevante. Uno tiende a confundir dos hechos que ciertamente no son lo mismo, pero que uno les asigna el mismo valor de verdad. Fíjese qué le pasaría a usted. Cómo contestaría usted estas dos preguntas:

1)       Suponga que usted entra en un casino, se acerca a una mesa de ruleta y le dicen que salieron 26 “números colorados” seguidos. Yo le pregunto: ¿cuál es la probabilidad de que salga colorado en el tiro siguiente?

2)      Otra vez, usted entra en un casino, se acerca a una mesa de ruleta y yo le pregunto: ¿cuál es la probabilidad de que salgan 26 “números colorados” seguidos?

     ¿Se entiende la diferencia? La primera pregunta se contesta fácil: la probabilidad de que salga colorado es 18/37 = (aprox.) 0,4864, o sea, un poco más del 48%. En cambio, la segunda pregunta, la probabilidad de que salgan 26 números colorados todos seguidos es un número muy chico: (18 / 37)26 = (aprox.) 0,0000000073087029 (lo que es lo mismo que hacer circular la bolita en ¡mil millones de oportunidades y esperar que suceda siete veces!). En fi n, es muy difícil. No imposible, pero muy difícil. Y eso es lo que hay que entender, que hay una diferencia esencial entre los dos problemas: anticipar que un evento pase 26 veces seguidas ANTES de que hubiera sucedido es una cosa, pero si uno ya sabe que salió colorado 25 veces y se pregunta cuál es la probabilidad de que suceda una vez más, es algo muy diferente. Lo que se conoce como “La Falacia del Jugador” es que, a pesar de que las “tiradas” son independientes, los humanos tenemos la tentación de no creerlo y, por lo tanto, confi amos más en nuestra intuición y en el “pálpito”. Los dueños de los casinos tienen recolectados los datos y por eso se pagan fortunas para traer más y más clientes. Y hasta acá, les ha ido muy bien, siendo una de las industrias que más éxito tiene y ha tenido en la historia del ser humano: el juego. El hecho de que hubiera salido colorado o negro repetidamente no altera la probabilidad de que salga un color por sobre otro en la próxima jugada. Algo así como que la ruleta no tiene memoria. ¿Por qué sucede esto? La respuesta la podemos buscar juntos después de los siguientes ejemplos. Suponga que hay una familia que tiene dos niños. Uno acaba de nacer. El otro tiene 10 años. Es decir, uno es un bebé recién nacido y el otro ya está por terminar la escuela primaria. Acompáñeme a pensar lo siguiente: cuando el bebé cumpla un año, el mayor va a tener 11. Usted estará pensando: “Es una obviedad. Por supuesto que va a cumplir 11 si la diferencia entre los dos es de 10 años”. Y tiene razón. La diferencia entre los dos será SIEMPRE 10 años. Pero fíjese que hay otro número entre los dos que va cambiando a medida que van creciendo. Divida las dos edades entre sí. Es decir, la del mayor (11) dividida por la del menor (1). ¿Qué obtiene? El número 11. Al año siguiente, cuando el primogénito cumpla 12, el hermano menor cumplirá 2 años. El cociente entre las dos edades es ahora seis, ya que 12 dividido 2 es 6. De la misma forma, cuando el mayor cumpla 13, el menor tendrá 3, pero el cociente ahora es un número más chico: 4,3333 (13 / 3 = 4,3333...). Y cuando el más grande cumpla 14, el menor tendrá 4, y el cociente ahora será 3,5 (ya que 14 / 4 = 3,5). Y así, uno puede seguir como se ve en esta tabla:

     Si bien la distancia (medida en años) es y será siempre la misma mientras ambos estén vivos, el cociente va cambiando a medida que avanza el tiempo. Ese numerito se va haciendo cada vez más chico, como se aprecia en la tabla adjunta. Es más: si usted presta atención a esa tabla con un poco más de cuidado, verá que el cociente es un número que se va aproximando a uno. Es decir, a medida que van creciendo los dos niños, el número no sólo se hace más pequeño, sino que cada vez está más cerca de uno. Desde el punto de vista de las equivalencias, lo que está diciendo es que una persona de 80 años y otra de 90 tienen ya muchas similitudes. Es muy fácil descubrir

quién es mayor en el caso de 12 y 2 años (respectivamente). Sin embargo, entre dos personas que se lleven 10 años pero de las cuales uno tiene 80 y el otro 90, es muchísimo más difícil. Es decir, que del hecho de que ese cociente entre las edades sea un número que se acerque al número uno, lo que está diciendo es que cada vez, a medida que va pasando el tiempo, ¡cada vez son más parecidos!

     De hecho, si yo le preguntara a usted: acá tiene dos números (llamémoslos a y b). ¿Son iguales? Una manera sería restar los dos números, y fi jarse si el resultado es cero. Sin embargo, otra forma equivalente, sería dividir uno por el otro, y en ese caso, el resultado debería ser... el número uno. Y eso es muy importante. La forma más usual de decidir si dos cantidades son iguales o si están cerca en magnitud o si son equivalentes... es dividir una por otra y fi jarse si uno obtiene un número cercano a uno. Cuanto más cerca de uno está, más parecidos son los números que uno está comparando ⁽³⁾. Tomemos el caso de una moneda. Uno cree que porque la probabilidad de que salga cara o ceca es ½ (o 50%) para cada lado, esto significa que si uno tira la moneda 100 veces, entonces saldrá la mitad de veces cara y la otra mitad, ceca. O sea, uno querría que la diferencia entre caras y cecas sea cero, porque cree que habrá el mismo número. Y eso no es así, ni tiene que serlo. Nadie garantiza (porque sería falso) que si uno tirara una moneda 10 veces saldrán tantas caras como cecas. Pero lo que sí va a suceder es que a medida que uno siga tirando la moneda al aire, la división entre el número de caras y de cecas se acercará al número 1, como pasaba en la tabla con las edades de los niños. Bien podría suceder que uno tirara una moneda un millón de veces y que saliera en 510.000 ocasiones cara y 490.000 veces ceca. La diferencia entre los dos casos es de ¡veinte mil!, pero el cociente (510.000 / 490.000) = (aprox.) 1,04.

1.       Sería interesante (aunque escapa al objetivo de este libro) hablar de la diferencia entre error absoluto y error relativo que aparece en las mediciones físicas. Uno podría desviarse en miles de kilómetros midiendo la distancia entre estrellas, pero el error relativo podría ser muy pequeño.

     Es decir, si tiráramos la moneda indefinidamente, la diferencia entre el número de caras y de secas puede ser enorme, e incluso ir agrandándose cada vez más, pero lo importante es que ¡el cociente debería tender a uno! Y eso es lo que le interesa. Eso es lo que en matemática se llama “La Ley de los Grandes Números”. Por último, quiero retomar la pregunta que había quedado planteada después del ejemplo del casino de Monte Carlo en donde el color negro se repitió 26 veces seguidas en una de las mesas de ruleta: “¿Por qué no se altera la probabilidad de que salga el mismo color repetido tantas veces?”. Antes que siga yo, ¿se siente en condiciones de conjeturar una potencial respuesta después de lo que leyó hasta acá? Pensémoslo juntos: es que uno ahora ya sabe que del hecho de que la probabilidad de que salga colorado o negro sea la misma no se desprende que el número de colorados y negros sea el mismo. Puede salir cien o mil veces seguidas el mismo color y eso no altera nada. Lo que importa es saber que el cociente entre esos dos números se acercará a uno a medida que las jugadas se sigan sucediendo. Por eso, si usted va a apostar o jugar en algún juego de azar, le conviene leer algo de probabilidades porque es muy posible que lo que usted cree que va a pasar, no sea lo que predice la ciencia.

 Ejercicios: Responde a las preguntas:

1)  ¿Qué es probabilidad?

2) La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.  Conociendo esto. Intenta y busca la respuesta a este ejercicio.

- Juan depositó en un jarro 7 canicas azules, 11 canicas blancas y 9 negras y mezcló las canicas agitando el jarro. ¿Cuál es la probabilidad de que al introducir la mano en el jarro 3 veces corridas obtenga una azul, 2 blancas y tres negras?