Años bisiestos

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura tomada del libro Matemáticas para todos

Autor:  Paenza, Adrián   1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.   

    ISBN 978-950-07-4039-5

Años bisiestos

      El año 2012 (como tantos otros) llegó con 29 de febrero incluido. ¿Por qué? ¿Por qué sucede que hay febreros que tienen 29 días y otros que no? ¿Qué pasaría si no hubiera años bisiestos? (1) ¿Quién lo decidió? ¿Desde cuándo? Acá van algunas respuestas. Hace no mucho tiempo leí que si bien la Tierra tiene muchísimos problemas, por lo menos garantiza una vuelta al Sol gratis todos los años. Ahora bien: uno podría pensar que ese giro (alrededor del Sol) lleva exactamente 365 días. Pero no es así. La vuelta completa tarda un poco más: 365,242190419… días. Por ahora, para no contabilizar tantos decimales, digamos 365,25 y después miramos juntos (usted y yo) qué nos estamos perdiendo con los datos que no incluimos. En este caso, serían 365 días yun cuarto, o sea, 365 días y 6 horas. Estas 6 horas que sobran, en cuatro años se transformarían en un día. Si no incluimos allí el 29 de febrero, quedaría como 1 de marzo cuando debería ser 29 de febrero. En 8 años, pasará a ser 2 de marzo, y así siguiendo. En 40 años en lugar de tener un 29 de febrero tendríamos el 10 de marzo, en 80 años sería un 20 de marzo… y un poco más de un siglo, ya nos adelantamos un mes.

1-             En latín, un día determinado, por ejemplo el 24 de febrero, se decía: Ante diem sextum kalendas martias. Esto se entendería en castellano como: “Día sexto antes del primero de marzo”. Algo así como “faltan seis días para el primero de marzo”. Pero como los romanos no tenían 29 de febrero, pero sí tenían dos días 24 de febrero, que sería el 24 “bis”, cada cuatro años aparecía este día, y el sacerdote encargado de anunciarlo decía: Ante diem bis sextum kalendas martias, o lo que es lo mismo (casi): “Hoy es el día bis sexto antes del primero de marzo”. Y de esa frase, surge la palabra “bisiesto”, por bis sextum (fuente: etimologias.dechile.net).

    Esto, dicho de esta forma, parece irrelevante. Sólo que terminaríamos teniendo veranos en junio e inviernos en enero (y al revés en el Hemisferio Norte). Las playas de Mar del Plata estarían invadidas de gente en agosto y los que esquían en Bariloche viajarían hacia allá en febrero. El día de la primavera se festejaría en abril y, si usted es religioso, las Pascuas caerían en octubre. Pero más aún: el problema estaría en que esto iría variando con el tiempo, con lo cual en lugar de recordar cuándo un año es bisiesto, tendríamos que llevar la cuenta de cómo van sucediéndose las estaciones a medida que van pasando nuestras vidas y sería virtualmente imposible programar cualquiera tipo de actividad que tuviera alguna relación con las estaciones. 

    El emperador romano Julio César fue el primero que tomó nota de la situación y agregó un día al calendario empezando en el año 45 antes de Cristo. Se lo conoce con el nombre de Calendario Juliano y siguió en vigencia en algunas partes del mundo hasta el siglo XX. Pero fue un papa (sí, un papa) el que introdujo la modifi cación más esencial. Gregorio XII instituyó el día 29 de febrero cada cuatro años, y comenzó la era de los años bisiestos. Esto sucedió en 1582. Por supuesto, para no ser menos que Julio César —cuyo calendario se llama Juliano—, el nuevo calendario lleva el nombre de… Gregoriano. Cuando se produjo esa modifi cación, en marzo de 1582, el calendario le “erraba” a la fecha correcta por ¡10 días! Por lo tanto, y preste atención a esto, el día siguiente del 5 de octubre de 1582 no fue 6 de octubre, sino que pasó directamente al 15. ¿Se imagina ahora a todo el planeta poniéndose de acuerdo en algo semejante? Resulta hasta gracioso imaginar una reunión en las Naciones Unidas discutiendo sobre un cambio de este tipo. Tampoco fue fácil en esa época, no crea. Por ejemplo, la iglesia ortodoxa rusa todavía usa el calendario juliano. Por ejemplo, la Navidad para ellos llega el 7 de enero. Cada siglo pierden un día. El grupo de personas que se guían por esas convenciones, están 13 días “atrás” de nosotros, y en el año 2100 llegarán a 14. Pero como decía antes, agregar un 29 de febrero cada cuatro años no resuelve el problema en forma completa. Es que la Tierra no entiende de números “redondos”. Sería muchísimo más fácil que efectivamente diera el giro alrededor del Sol en 365 días y un cuarto. Bastaría —cada tanto— con agregar un día más al calendario y listo. Pero no. En realidad, no tarda 365,25, sino que una “buena” aproximación es aceptar que le lleva 365,242190419 días. Los efectos de tantos decimales serían solamente perceptibles si fuéramos a vivir decenas de miles de años. Presumo que para entonces, quienes nos sigan, se habrán ocupado de encontrar alguna otra solución que la que usamos ahora. No obstante, si bien tantos decimales no son necesarios, sí hace falta considerar algunos más. Si uno acepta 365,2425 —con cuatro dígitos después de la coma— entonces el 29 de febrero cada cuatro años no es sufi ciente. Es que ese pequeño factor de 0,0025 obliga a saltearse algunos años bisiestos y compensar con otros. Y eso hacemos: si bien todos los años que son múltiplos de cuatro son bisiestos (por eso 2004 fue bisiesto, igual que 2008, 2012, 2016, 2020, 2024… y así siguiendo) los que son múltiplos de 100, no. Y esto ya es un incordio de acordarse: los años 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos.

    Y cuando uno está dispuesto a decir que ya entendió todo, falta un dato. Para seguir compensando esos decimales que parecían tan intrascendentes, ¡hace falta que sí sean bisiestos los múltiplos de 400! Es decir, el año 2000 que NO debió ser bisiesto, sin embargo lo fue porque es múltiplo de 400, y lo mismo sucederá con el año 2400. En cada ciclo de 2.000 años hay 485 años bisiestos y, por lo tanto, 485 días que caen en 29 de febrero. Esos son los que hemos agregado y reconocido hasta acá. En fi n. Los números decimales que parecían tan irrelevantes (y de hecho, a partir del cuarto dígito lo son (2), tienen una incidencia muy singular en nuestra vida cotidiana. Si no hubiera años bisiestos, las estaciones empezarían a correrse (a baja velocidad (3), pero se correrían) y cualquier planifi cación que dependiera de ellas sería una tortura. La última pregunta que la/lo invito a pensar es la siguiente: un niño que nació el 29 de febrero de 2004, ¿cuántos años cumplió el pasado 29 de febrero de 2012? ¿Dos u ocho?

3- Si no considerara algunos decimales más, descubriría que cada 4.000 años (el primero sería el año 4.000, después el 8.000, etc.) esos años ¡tampoco serían bisiestos! Es decir, a pesar de que 4.000 es múltiplo de 400, ése sería el primero en el que, debiendo tener un 29 de febrero, no lo va a tener. Sin embargo, a esa altura, ¿a quién le va a importar?

4-.  Se correrían ocho días cada mil años.

Polinomios- Sopa de letras

Polinomios por Maximino Rosado Soto

 

Curiosidades Matemáticas

     Desde la creación del Universo la matemática ha estado presente.  Siempre digo a mis estudiantes; ¨Dios inventó la matemática, nosotros creamos problemas con ella.¨ Sin la matemática sería imposible muchas leyes que rigen el movimiento de los cuerpos celestes, posición de planetas, velocidad de la luz , peso, masa, espacio, la vida en la tierra y muchas cosas mas.

Algunas curiosidades Matemáticas.

1. La luz tarda 8 minutos y 17 segundo desde el Sol hasta la superficie terrestre.
2. Las girafas pueden limpiarse las orejas con su lengua, que mide medio metro (aproximadmente 1.65 pies). Esto me recuerda la sección áurea (número de oro).
3. Se transmiten más gérmenes dando la mano que besando. ¡Cuidado, ahora no salgas por ahí a darle besos a todo el mundo!
4. La rana colombiana ¨Dardo Dorado¨ contiene tantas toxinas como para matar 1000 humanos.
5. La palma Talipot tarda 100 años en florecer y después.
6. Somos casi un cuarto de pulgada (6.35 mm) más altos de noche cuando dormimos que de día.
7. En Estados Unidos hay más de 1250 millones de ratas. ¿Cuántas hay en vecindario?
8. Un rayo posee tanta energía como para iluminar dos millones y medio de hogares. Piensa e investiga, ¿Cómo capturar esa energía y llevarla a los hogares de todo un país como Puerto Rico o una gran ciudad como Nueva York?
9.  Una libédula puede ver insectos que se mueven a una distancia de 33 pies.
10. La matemática del huevo es interesante. Su forma y su relación con el número de oro, tienes que investigarla. Con poner un huevo a calentar a 40 grados centígrados de temperatura, durante 21 días, se logra un pollito, este romperá el cascarón y saldrá piando. Ahora, ¿qué vino primero el huevo o la gallina?
11. Nuestra galaxia, la Via Láctea, contiene más de 100,000 millones de estrellas.
12. El diámetro de nuestra galaxia se extiende por una distancia tan grande que si uno pudiara viajar a la velocidad de la luz (299,792 kilómetros o sea 186,282 millas por segundo) le tomaría 100,000 años cruzarla.
13. Nuestra estrella (el sol) es un gigante horno atómico ante nosotros, pero hay en el Universo otros soles que son 5, 10, 15, 20 veces más grande que el Sol que nos calienta y nos regala vida. 
14. El Sinsonte es un pájaro que puede imitar más de 50 aves en una sola hora.
15. Haciendo conexión con el número 13. La Tierra es un bola de 40,000 kilómetros de perímetro (meridiano). El Sol es un millón trecientas mil (1, 300,000) veces mayor que la tierra. En la estrella Antares, de la constelación de Escorpión caben 115 millones de soles. Alfa de Hércules, que está a 1,200 años luz, y es la mayor de todas las estrellas conocidas, es 8000 billones de veces mayor que el Sol. El radio de Antares es el diámetro de la órbita de la Tierra, es decir de 300 millones de kilómetros; y que el diámetro de la orbita de Plutón (que ya no se clasifica como planeta), que es de 12,000 millones de Km., es la décima parte del radio de Alfa de Hércules. Todo esto lo ha calculado un astronomo. La Tierra va a 100000 km por hora (30 km por segundo). El Sol va a 300 km por segundo hacia la Constelación de Hércules. La Constelación de Virgo se aleja de nosotros a 1000 km por segundo. El Cúmulo de Boyero se desplaza a 100000 Km por segundo. Por el desplazamiento hacia el rojo de las rayas del espectro se ha calculado que hay estrellas que se alejan de nosotros a 276,000 km por segundo. Es decir, al 92% de la velocidad de la luz. El movimiento de las estrellas es tan exacto que se puede hacer el almanaque con muchisima anticipación. El almanaque pone la salida y la puesta del Sol de cada día, los eclipses que habrá durante todo el año, el día que serán, a que hora, cuánto durarán y todos los datos relacionados a las estrellas y movimientos de cuerpos celestes. Sabías que el Cometa Halley pasó junto a la Tierra en el año de 1910 y volvió a pasar cerca de la Tierra (a 486 millones de km) en marzo de 1986, o sea según el astrónomo que lo descubrió, este cometa reaparece cada 76 años al completar su trayectoria para volver a pasar cerca de la Tierra. Yo tenía recortes de periódico de fotos de ese cometa.
16. El ojo humano, es una maravillosa máquina fotográfica, que saca 10 fotos por segundo y no tiene nada que envidiarle a las cámaras digitales de hoy día.
17. Y que de nuestro cuerpo. El cerebro tiene 14,000 millones de neuronas. En el organismo humano hay alrededor de 60 billones de células. Nuestro cuerpo tiene un sistema binario- dos manos, dos ojos, dos orejas, dos pies, dos partes cerebrales... tiene también el sistema decimal 10 dedos en las manos, 10 en los pies. Y si hablamos del corazón que es una máquina que bombea a diario la sangre de nuestro cuerpo; 60 latidos por mínuto aproximado, en una hora tendrás 3600 latidos, ¿en un día cuántos son?, has el cálculo. ¿Cuántos años tiene? Multiplica el número de años que tiene por la cantidad de latidos en 365 días del año y te sorprenderás. Otras matemáticas del cuerpo humano- cantidad de huesos, pintas de sangre, gustos de la lengua, bellos en el cuerpo, dentadura y terminamos... Hasta la proporción áurea esta presente el cuerpo humano.
18. Un Zumbador o Colibri es una pequeña ave que puede vatir sus alas 80 veces por segundo. Se caracteriza por su habilidad para volar hacia atrás y suspenderse en el aire mientras se alimenta del néctar.
19. El planeta nuestro es sorprenderte....... y nuestro universo es infinito con sus matematicas...

Amigo tome un descanso, ya que aún no he terminado............

Descomponiendo un número en 4 sumandos

Buscando entre mis libros me encontré uno que siempre había guardado como unos de mis preferidos. El libro ¨Juegos y Pasatiempos¨ del autor Oscar Jeremías Fau impreso en 1964.  He encontrado varios problemas en donde se aplican las matemáticas para resolver alguna situación. Tenemos un ejercicio de aritmética interesante,

1. ¿Cómo descompondremos el número 100, en cuatro sumandos, en forma que sumando 4 al primero, restando 4 al segundo, multiplicando por 4 el tercero y dividiento por 4 el último, obtengamos, precisamente la cifra 16?  La solución no puede ser más sencilla: los números serán los siguientes:  

100 = 12 + 20 + 4 + 64

12 + 4 = 16

20 - 4 = 16

4 X 4 = 16

64/4 = 16

     Si queremos descomponer en igual forma otro número cualquiera, para obtenerlo, bastará con partir uno a elección nuestra y un de sus múltiplos: por ejemplo 5 y 15. Restándolos obtenemos el primer sumando (15 - 5 = 10); sumándolos aparece el segundo: (15 + 5 = 20); por la división conseguimos el tercero: (15/5 = 3) y al multiplicar (15 x 5 = 75 ). La adición de los cuatro nos da el número a descomponer.

10 + 20 + 3 + 75 = 108

10 + 5 = 15

20 - 5 = 15

3 x 5 = 15

75/5 = 15

Vemos claramente como el numero 15 se aparece en las 4 operaciones basicas.

     Bueno lo interesante de esa aritmética es que también se integra al algebra para encontrar la incógnita de una variable. En el primer caso en que aparece 16 podemos resolverlo aplicando pequeñas ecuaciones de primer grado.

x + 4 = 16

x - 4 = 16

4x = 16

x/4 = 16

     Ahora te toca a ti poder descomponer un número cualquiera en cuatro sumandos y prácticar ese aprendizaje.

El Tablero de Ajedrez

Prof. Maximino Rosado Soto
Lectura tomada del Libro "Malditas Matematicas" del autor Carlo Frabetti ISBN: 84-204-4175-9

El desierto de trigo 

     Mientras seguían avanzando por el intrincado laberinto,
Alicia le preguntó a Charlie: —¿Por qué el Cero le tenía tanto miedo a la Minovaca? En el fondo, es inofensiva. —Para nosotros, tal vez; pero ten en cuenta que los naipes son de cartulina y que las vacas comen papel, pues está hecho de celulosa, igual que la hierba. Al cabo de un rato, la niña se dio cuenta de que el suelo del laberinto empezaba a cubrirse de una fina gravilla. Una gravilla muy suave y uniforme, que crujía de un modo extraño bajo sus pies. Al agacharse para examinarla de cerca, Alicia exclamó: —¡Es trigo! ¡El suelo está alfombrado de granos de trigo! —Eso significa que estamos cerca de la salida —comentó Charlie sin inmutarse. Y, efectivamente, poco después, salieron a una inmensa y ondulada extensión amarillenta, un deslumbrante desierto que parecía no tener fin.

     Sólo que no era un desierto de arena, sino de trigo. —¿Qué es esto? —preguntó Alicia, con los ojos muy abiertos por el asombro. —Es la deuda del rey Shirham —contestó Charlie—. Mejor dicho, una pequeña parte de su deuda. —¿Y a quién le debe tanto trigo? —Será mejor que te lo cuente él mismo. ¿Ves un puntito negro sobre aquella duna, la más alta? Debe de ser él. Vamos a hacerle una visita. Tras una larga y fatigosa marcha por el inmenso granero, llegaron a lo alto de la duna. Un anciano de larga barba blanca, con turbante y lujosamente ataviado al estilo oriental, estaba sentado con las piernas cruzadas sobre una alfombra multicolor. A su lado, sobre la alfombra, había un tablero de ajedrez. A unos pocos metros, semihundido en la duna, un gran cuerno vomitaba un incesante y voluminoso chorro de granos de trigo, que resbalaban sobre la suave pendiente como un lento río vegetal.
 
  Alicia se acercó al anciano y, tras saludarlo educadamente, le preguntó: —¿Es verdad que con todo este trigo estás pagando una deuda? —Así es —contestó Shirham—. Hace unos dos mil años, cuando yo era rey de la India, el inventor del ajedrez me pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la anterior. —Pero eso no puede ser mucho —comentó Alicia. —Eso pensé yo —dijo el rey con un suspiro—. Pero cuando los matemáticos de la corte calcularon el número de granos que tenía que entregarle al astuto inventor, resultó que no había en el mundo trigo suficiente ni lo había habido desde el origen de los tiempos. Mira, aquí tienes la cuenta. El rey le tendió a Alicia el tablero de ajedrez. En cada casilla había un número escrito:

      —¡Qué barbaridad! —exclamó la niña—. Y encima hay que sumar todas las casillas para saber cuál es el total. —Eso es muy fácil —intervino Charlie. —¿Fácil? Una suma con 64 sumandos, y muchos de ellos enormes... —Fíjate bien; o sea, fíjate de manera ordenada y empezando por el principio, como diría la Minovaca —dijo el escritor—. Los dos primeros números suman 3, y el tercero es 4; los tres primeros números suman 7, y el cuarto es 8, los cuatro primeros números suman 15, y el quinto es 16... —¡Ya lo veo! Cada número es la suma de todos los anteriores más uno. —Exacto. Entonces, la suma de todos los números de esta serie será el doble del último menos uno, o sea, 18.446.744.073.709.551.615. En números redondos, serían unos 18 trillones y medio. —¿Y eso es mucho? No puedo imaginarme cómo es un trillón. —Nadie puede imaginárselo, es un número que se sale por completo de la modesta escala humana. Para que te hagas una idea, el cuerno de la abundancia, que figuraba entre los tesoros del rey Shirham, produce un metro cúbico de trigo por segundo, y en un metro cúbico hay unos 15 millones de granos... 

     —Entonces no puede tardar mucho en pagar la deuda. —¿Tú crees? Vamos a calcularlo. El cuerno lleva dos mil años produciendo trigo sin parar un solo instante. En un día hay 86.400 segundos, luego en un año hay unos 30 millones. En dos mil años hay, pues, unos 60.000 millones de segundos, y como cada segundo el cuerno genera 15 millones de granos, en ese tiempo ha producido alrededor de un trillón. A este ritmo, tardará más de 30.000 años en producir los 18 trillones y medio necesarios. —¡Es terrible! —se estremeció Alicia—. Me dan mareos sólo de pensarlo. Salgamos cuanto antes de este monstruoso desierto de trigo. —Tal vez el rey tenga la bondad de indicarnos la forma de salir —comentó Charlie mirando a Shirham. —Mi alfombra os llevará —dijo éste—. Pero antes tenéis que jugar conmigo una partida de ajedrez. Y además, como estoy harto de números astronómicos y plazos interminables, tendréis que ganarme en el menor número de jugadas posible. Acto seguido, el rey sacó de una caja de marfil primorosamente labrada las piezas de ajedrez y las dispuso sobre el tablero. Colocó las blancas de su lado e hizo el primer movimiento: adelantó una casilla el peón del alfil de rey. 

     —¿Cómo le vamos a ganar en el menor número de jugadas? —le susurró Alicia a Charlie—. ¡Y encima juega él con las blancas! —Eso facilitará las cosas —la tranquilizó el escritor. —¿Por qué? —Si el rey nos desafía a ganarle en el menor número de jugadas es porque ello es posible, pues de lo contrario no sería un reto honrado. Y para que sea posible, él tiene que colaborar —explicó Charlie, adelantando una casilla el peón de rey negro. —¿Y cómo sabemos que es honrado? —le preguntó Alicia en voz baja. —Un hombre que paga una deuda de 18 trillones y medio de granos de trigo tiene que ser honrado —sentenció el escritor. Shirham adelantó dos casillas su peón de caballo de rey y dijo: —Ahora tiene que jugar la niña, puesto que la primera jugada la ha hecho el hombre. —Ten en cuenta, Alicia —le advirtió Charlie—, que para que la partida sea la más corta posible tienes que ganar ya. —¿Ya? —exclamó la niña. Observó con atención la disposición de las piezas, y por fin movió la dama en diagonal hasta el borde del tablero—. ¡Jaque mate! 

El Avión y la Puerta

Prof. Maximino Rosado Soto

Tomada del libro Matemáticas-Historia de los números, símbolos y el espacio  por

IRVING ADLER , ed 1984

El Avión y la Puerta

     Julio estaba construyendo un avión de iuguete de gran tamaño en la habitación que le servía de taller. Cuando ya estaba a punto de pegar las alas al fuselaje del aeroplano, Julio pensó: "¿Pasará el avión por la puerta en cuanto las alas estén en su lugar? Las alas miden 3 1/2 metros de punta a punta, y la puerta 2 metros de anchura por 3 metros de altura." ]ulio no podría pasar el avión por la puerta, a menos que lo inclinara. Podemos ayudar a Julio a resolver su problema averiguando qué relación hay entre los lados de un triángulo rectángulo. Tracemos en una hoia de papel cuadriculado un triángulo rectángulo"de cuatro unidades de anchura (primer cateto) por tres unidades de altura ( segundo cateto ) . Midamos ahora la hipotenusa (el lado más largo ) . Este último lado tendrá cinco unidades de longitud. Construyamos otros dos triángulos rectángulos, como los del dibujo, y midamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos:

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    4                3                  5

    8                6                 10

   12               5                 13

Observemos los números correspondientes a cada triángulo; aparentemente no hay relación alguna entre ellos, pero sí existe una relación escondida entre ellos. Esta saltará a la vista si elevamos al cuadrado cada uno de los números. 4² +3² = 5², o sea 16 + 9 = 25 cada conjunto puede mostrarse.

Hace 2,500 años, Pitógoras formuló un teorema, el cual expresa que un triángulo rectángulo, el cuadrado de unos de los cotetos más el cuadrado deI segundo cateto, siernpre es igual al cuadrado de Ia hípotenusa.

Los eiemplos anteriores establecen esa regla que descubrió hace unos dos mil quinientos años Pitágoras; es decir: (cateto)²+ (cateto)²= (hipotenusa)².  Si aplicamos esta regla, nos ayudará a resolver el problema de Julio. Nos damos cuenta de que la anchura, la altura y la diagonal de Ia puerta, forman un triángulo rectángulo. Sus catetos miden, respectivamente, 2 y 3 metros. De aquí resulta: 2² +3² =4+9= 13.  Como 13 es el cuadrado de la diagonal por Ia que el avión debe pasar, tenemos que elevar al cuadrado la distancia de punta a punta de las alas, para saber si es o no más pequeña que Ia diagonal de la puerta. La distancia de punta a punta de las alas es de 3 1/2 metros. 

Por lo tanto 3 ½ X 3 ½= (3 ½)², o sea 7/2 x 7/2= 49/4 o 12 ¼

Este resultado es menor que 13; por lo tanto el aeroplano podrá pasar, ladeándolo, por la puerta. He aquí tres conjuntos de números. Sólo dos de ellos obedecen al teorema de Pitágoras.  ¿Cuáles son?

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    9                12               15

    8                15               17

   12               15               18

      Abarcando un poco más esta lectura, podemos encontrar que hay 3 valores numéricos que satisfacen el teorema de pitágoras. A estos 3 números se les llama triples pitagóricos. Esto se conoce como el recíproco del teorema de pitágoras que dice;  Si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la medida del lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo. ¿Cuántos triples pitágoricos puedes hallar?

Estos números deben satisfacer la ecuación del teorema de pitágoras   a² + b² = c².  Podemos resolver la medida de los lados de un triángulo rectángulo despejando las variables a y b en donde a²= c² - b² y b²= c²-a², de acuerdo a las medidas que se tengan de los catetos y la hipotenusa.

El señor del Censo

Prof. Maximino Rosado Soto

del libro de Paenza, Adrián    Matemática para todos - 1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.      ISBN 978-950-07-4039-5

El señor del censo

     Haga de cuenta que el corriente es uno de los años en los que cada país censa a sus habitantes. No importa en qué lugar del mundo esté, los censos suelen suceder cada diez años. El siguiente problema es —obviamente— ficticio, pero requiere de prestar atención a la forma en la que está planteado para poder encontrar la respuesta. En principio, parecería que no hay suficientes datos, pero créame, no es así. Acá va. Imagine conmigo esta historia: “el señor del censo” golpea la puerta en una casa y desde adentro contesta una señora que lo hace pasar. La dueña de casa le ofrece un café. El señor va preguntando y tomando nota de las respuestas mientras llena el formulario “tipo”. Llega un momento en que le pregunta a la señora: ¿cuántos hijos tiene usted?
—Tengo tres hijas —contesta la mujer.
—¿De qué edades? —insiste el señor del censo.
—Vea, si consideramos números enteros, el producto de las edades resulta ser 36
—vuelve a decir la señora.
—Entiendo —dice el censista —, pero todavía no puedo deducir las edades.
— Mire, me acabo de dar cuenta de que aunque le dijera la suma de las edades, usted tampoco podría deducirlo —insiste la mujer.
— Bueno, en ese caso le pido que por favor me diga algo más —dice el señor.
— En ese caso puedo agregarle que a Elena, mi hija mayor, le gustan mucho los canarios —termina diciendo la señora.
— Ahora sí —concluye el “señor del censo”—, ahora ya sé las edades.

     ¿Qué pasó? ¿Por qué ahora sí puede deducir las edades? Le propongo que antes de darse por vencido, se tome un rato y piense. Analice las posibilidades y no se someta (al menos no tan rápido) a la tentación de decir: “faltan datos”. Si me puedo permitir sugerirle algo, entreténgase con el problema tanto como pueda. Y disfrútelo. La solución está acá nomás.
Solución
Como las tres edades son números enteros, y el producto es 36, veamos cuáles son todas las posibilidades para las edades de los hijas. El número 36 puede descomponerse como producto de tres números de varias maneras. Acá está la lista completa:
36 = 1 x 1 x 36
36 = 2 x 2 x 9
36 = 2 x 3 x 6
36 = 1 x 6 x 6
36 = 3 x 3 x 4
36 = 1 x 2 x 18
36 = 1 x 4 x 9
36 = 1 x 3 x 12

Es decir, hay ocho posibles combinaciones de edades entre las tres niñas. Ahora bien: en un momento de la charla, la señora le dice al censista que “aunque le diga la suma de las edades usted tampoco podría deducirlo”. Calculemos entonces las sumas de las ocho combinaciones que escribí:
1 + 1 + 36 = 38
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
1 + 6 + 6 = 13
3 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 18 = 21
1 + 4 + 9 = 14
1 + 3 + 12 = 16

     Como se ve en esta lista, hay solamente dos sumas que se repiten, y son las ternas de números que suman 13. O sea, cuando la señora le dice al “señor del censo” que aunque le dijera la suma de las edades él no podría deducirlo, le está dando un dato extra. Por ejemplo, si ella le dijera que la suma es 38, el censista ya sabría que las edades son (1, 1, 36). O si le dijera que la suma es 11, las edades serían (2, 3, 6). Por lo tanto, las únicas dos ternas en las que la suma es igual o se repiten son:
(2, 2, 9) y (1, 6, 6).

     Ya sabemos, entonces, que tiene que ser alguna de las dos ternas. Sí, pero ¿cuál? Y acá es donde apelamos a un dato que pareciera irrelevante cuando la señora lo dijo (¿quiere volver para atrás usted y releer cada frase?). Cuando la mujer dice que a Elena, la hija mayor, le gustan los canarios, quiere decir que hay una hija mayor. O sea, hay una de las tres hermanas que es la mayor de todas. Si uno revisa las dos ternas, de las dos, la única que tiene esa propiedad es la terna (2, 2, 9) (Elena tiene 9 años entonces). La otra terna (1, 6, 6), no tiene una “hija mayor”. Eso termina por resolver el problema. Lo que parecía inocente (una vez más, parece inocente, porque es inocente) y que le faltaban datos, sin embargo, termina siendo accesible y resoluble.