Polinomios- Sopa de letras

Polinomios por Maximino Rosado Soto

 

Curiosidades Matemáticas

     Desde la creación del Universo la matemática ha estado presente.  Siempre digo a mis estudiantes; ¨Dios inventó la matemática, nosotros creamos problemas con ella.¨ Sin la matemática sería imposible muchas leyes que rigen el movimiento de los cuerpos celestes, posición de planetas, velocidad de la luz , peso, masa, espacio, la vida en la tierra y muchas cosas mas.

Algunas curiosidades Matemáticas.

1. La luz tarda 8 minutos y 17 segundo desde el Sol hasta la superficie terrestre.
2. Las girafas pueden limpiarse las orejas con su lengua, que mide medio metro (aproximadmente 1.65 pies). Esto me recuerda la sección áurea (número de oro).
3. Se transmiten más gérmenes dando la mano que besando. ¡Cuidado, ahora no salgas por ahí a darle besos a todo el mundo!
4. La rana colombiana ¨Dardo Dorado¨ contiene tantas toxinas como para matar 1000 humanos.
5. La palma Talipot tarda 100 años en florecer y después.
6. Somos casi un cuarto de pulgada (6.35 mm) más altos de noche cuando dormimos que de día.
7. En Estados Unidos hay más de 1250 millones de ratas. ¿Cuántas hay en vecindario?
8. Un rayo posee tanta energía como para iluminar dos millones y medio de hogares. Piensa e investiga, ¿Cómo capturar esa energía y llevarla a los hogares de todo un país como Puerto Rico o una gran ciudad como Nueva York?
9.  Una libédula puede ver insectos que se mueven a una distancia de 33 pies.
10. La matemática del huevo es interesante. Su forma y su relación con el número de oro, tienes que investigarla. Con poner un huevo a calentar a 40 grados centígrados de temperatura, durante 21 días, se logra un pollito, este romperá el cascarón y saldrá piando. Ahora, ¿qué vino primero el huevo o la gallina?
11. Nuestra galaxia, la Via Láctea, contiene más de 100,000 millones de estrellas.
12. El diámetro de nuestra galaxia se extiende por una distancia tan grande que si uno pudiara viajar a la velocidad de la luz (299,792 kilómetros o sea 186,282 millas por segundo) le tomaría 100,000 años cruzarla.
13. Nuestra estrella (el sol) es un gigante horno atómico ante nosotros, pero hay en el Universo otros soles que son 5, 10, 15, 20 veces más grande que el Sol que nos calienta y nos regala vida. 
14. El Sinsonte es un pájaro que puede imitar más de 50 aves en una sola hora.
15. Haciendo conexión con el número 13. La Tierra es un bola de 40,000 kilómetros de perímetro (meridiano). El Sol es un millón trecientas mil (1, 300,000) veces mayor que la tierra. En la estrella Antares, de la constelación de Escorpión caben 115 millones de soles. Alfa de Hércules, que está a 1,200 años luz, y es la mayor de todas las estrellas conocidas, es 8000 billones de veces mayor que el Sol. El radio de Antares es el diámetro de la órbita de la Tierra, es decir de 300 millones de kilómetros; y que el diámetro de la orbita de Plutón (que ya no se clasifica como planeta), que es de 12,000 millones de Km., es la décima parte del radio de Alfa de Hércules. Todo esto lo ha calculado un astronomo. La Tierra va a 100000 km por hora (30 km por segundo). El Sol va a 300 km por segundo hacia la Constelación de Hércules. La Constelación de Virgo se aleja de nosotros a 1000 km por segundo. El Cúmulo de Boyero se desplaza a 100000 Km por segundo. Por el desplazamiento hacia el rojo de las rayas del espectro se ha calculado que hay estrellas que se alejan de nosotros a 276,000 km por segundo. Es decir, al 92% de la velocidad de la luz. El movimiento de las estrellas es tan exacto que se puede hacer el almanaque con muchisima anticipación. El almanaque pone la salida y la puesta del Sol de cada día, los eclipses que habrá durante todo el año, el día que serán, a que hora, cuánto durarán y todos los datos relacionados a las estrellas y movimientos de cuerpos celestes. Sabías que el Cometa Halley pasó junto a la Tierra en el año de 1910 y volvió a pasar cerca de la Tierra (a 486 millones de km) en marzo de 1986, o sea según el astrónomo que lo descubrió, este cometa reaparece cada 76 años al completar su trayectoria para volver a pasar cerca de la Tierra. Yo tenía recortes de periódico de fotos de ese cometa.
16. El ojo humano, es una maravillosa máquina fotográfica, que saca 10 fotos por segundo y no tiene nada que envidiarle a las cámaras digitales de hoy día.
17. Y que de nuestro cuerpo. El cerebro tiene 14,000 millones de neuronas. En el organismo humano hay alrededor de 60 billones de células. Nuestro cuerpo tiene un sistema binario- dos manos, dos ojos, dos orejas, dos pies, dos partes cerebrales... tiene también el sistema decimal 10 dedos en las manos, 10 en los pies. Y si hablamos del corazón que es una máquina que bombea a diario la sangre de nuestro cuerpo; 60 latidos por mínuto aproximado, en una hora tendrás 3600 latidos, ¿en un día cuántos son?, has el cálculo. ¿Cuántos años tiene? Multiplica el número de años que tiene por la cantidad de latidos en 365 días del año y te sorprenderás. Otras matemáticas del cuerpo humano- cantidad de huesos, pintas de sangre, gustos de la lengua, bellos en el cuerpo, dentadura y terminamos... Hasta la proporción áurea esta presente el cuerpo humano.
18. Un Zumbador o Colibri es una pequeña ave que puede vatir sus alas 80 veces por segundo. Se caracteriza por su habilidad para volar hacia atrás y suspenderse en el aire mientras se alimenta del néctar.
19. El planeta nuestro es sorprenderte....... y nuestro universo es infinito con sus matematicas...

Amigo tome un descanso, ya que aún no he terminado............

Descomponiendo un número en 4 sumandos

Buscando entre mis libros me encontré uno que siempre había guardado como unos de mis preferidos. El libro ¨Juegos y Pasatiempos¨ del autor Oscar Jeremías Fau impreso en 1964.  He encontrado varios problemas en donde se aplican las matemáticas para resolver alguna situación. Tenemos un ejercicio de aritmética interesante,

1. ¿Cómo descompondremos el número 100, en cuatro sumandos, en forma que sumando 4 al primero, restando 4 al segundo, multiplicando por 4 el tercero y dividiento por 4 el último, obtengamos, precisamente la cifra 16?  La solución no puede ser más sencilla: los números serán los siguientes:  

100 = 12 + 20 + 4 + 64

12 + 4 = 16

20 - 4 = 16

4 X 4 = 16

64/4 = 16

     Si queremos descomponer en igual forma otro número cualquiera, para obtenerlo, bastará con partir uno a elección nuestra y un de sus múltiplos: por ejemplo 5 y 15. Restándolos obtenemos el primer sumando (15 - 5 = 10); sumándolos aparece el segundo: (15 + 5 = 20); por la división conseguimos el tercero: (15/5 = 3) y al multiplicar (15 x 5 = 75 ). La adición de los cuatro nos da el número a descomponer.

10 + 20 + 3 + 75 = 108

10 + 5 = 15

20 - 5 = 15

3 x 5 = 15

75/5 = 15

Vemos claramente como el numero 15 se aparece en las 4 operaciones basicas.

     Bueno lo interesante de esa aritmética es que también se integra al algebra para encontrar la incógnita de una variable. En el primer caso en que aparece 16 podemos resolverlo aplicando pequeñas ecuaciones de primer grado.

x + 4 = 16

x - 4 = 16

4x = 16

x/4 = 16

     Ahora te toca a ti poder descomponer un número cualquiera en cuatro sumandos y prácticar ese aprendizaje.

El Tablero de Ajedrez

Prof. Maximino Rosado Soto
Lectura tomada del Libro "Malditas Matematicas" del autor Carlo Frabetti ISBN: 84-204-4175-9

El desierto de trigo 

     Mientras seguían avanzando por el intrincado laberinto,
Alicia le preguntó a Charlie: —¿Por qué el Cero le tenía tanto miedo a la Minovaca? En el fondo, es inofensiva. —Para nosotros, tal vez; pero ten en cuenta que los naipes son de cartulina y que las vacas comen papel, pues está hecho de celulosa, igual que la hierba. Al cabo de un rato, la niña se dio cuenta de que el suelo del laberinto empezaba a cubrirse de una fina gravilla. Una gravilla muy suave y uniforme, que crujía de un modo extraño bajo sus pies. Al agacharse para examinarla de cerca, Alicia exclamó: —¡Es trigo! ¡El suelo está alfombrado de granos de trigo! —Eso significa que estamos cerca de la salida —comentó Charlie sin inmutarse. Y, efectivamente, poco después, salieron a una inmensa y ondulada extensión amarillenta, un deslumbrante desierto que parecía no tener fin.

     Sólo que no era un desierto de arena, sino de trigo. —¿Qué es esto? —preguntó Alicia, con los ojos muy abiertos por el asombro. —Es la deuda del rey Shirham —contestó Charlie—. Mejor dicho, una pequeña parte de su deuda. —¿Y a quién le debe tanto trigo? —Será mejor que te lo cuente él mismo. ¿Ves un puntito negro sobre aquella duna, la más alta? Debe de ser él. Vamos a hacerle una visita. Tras una larga y fatigosa marcha por el inmenso granero, llegaron a lo alto de la duna. Un anciano de larga barba blanca, con turbante y lujosamente ataviado al estilo oriental, estaba sentado con las piernas cruzadas sobre una alfombra multicolor. A su lado, sobre la alfombra, había un tablero de ajedrez. A unos pocos metros, semihundido en la duna, un gran cuerno vomitaba un incesante y voluminoso chorro de granos de trigo, que resbalaban sobre la suave pendiente como un lento río vegetal.
 
  Alicia se acercó al anciano y, tras saludarlo educadamente, le preguntó: —¿Es verdad que con todo este trigo estás pagando una deuda? —Así es —contestó Shirham—. Hace unos dos mil años, cuando yo era rey de la India, el inventor del ajedrez me pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla el número de granos de la anterior. —Pero eso no puede ser mucho —comentó Alicia. —Eso pensé yo —dijo el rey con un suspiro—. Pero cuando los matemáticos de la corte calcularon el número de granos que tenía que entregarle al astuto inventor, resultó que no había en el mundo trigo suficiente ni lo había habido desde el origen de los tiempos. Mira, aquí tienes la cuenta. El rey le tendió a Alicia el tablero de ajedrez. En cada casilla había un número escrito:

      —¡Qué barbaridad! —exclamó la niña—. Y encima hay que sumar todas las casillas para saber cuál es el total. —Eso es muy fácil —intervino Charlie. —¿Fácil? Una suma con 64 sumandos, y muchos de ellos enormes... —Fíjate bien; o sea, fíjate de manera ordenada y empezando por el principio, como diría la Minovaca —dijo el escritor—. Los dos primeros números suman 3, y el tercero es 4; los tres primeros números suman 7, y el cuarto es 8, los cuatro primeros números suman 15, y el quinto es 16... —¡Ya lo veo! Cada número es la suma de todos los anteriores más uno. —Exacto. Entonces, la suma de todos los números de esta serie será el doble del último menos uno, o sea, 18.446.744.073.709.551.615. En números redondos, serían unos 18 trillones y medio. —¿Y eso es mucho? No puedo imaginarme cómo es un trillón. —Nadie puede imaginárselo, es un número que se sale por completo de la modesta escala humana. Para que te hagas una idea, el cuerno de la abundancia, que figuraba entre los tesoros del rey Shirham, produce un metro cúbico de trigo por segundo, y en un metro cúbico hay unos 15 millones de granos... 

     —Entonces no puede tardar mucho en pagar la deuda. —¿Tú crees? Vamos a calcularlo. El cuerno lleva dos mil años produciendo trigo sin parar un solo instante. En un día hay 86.400 segundos, luego en un año hay unos 30 millones. En dos mil años hay, pues, unos 60.000 millones de segundos, y como cada segundo el cuerno genera 15 millones de granos, en ese tiempo ha producido alrededor de un trillón. A este ritmo, tardará más de 30.000 años en producir los 18 trillones y medio necesarios. —¡Es terrible! —se estremeció Alicia—. Me dan mareos sólo de pensarlo. Salgamos cuanto antes de este monstruoso desierto de trigo. —Tal vez el rey tenga la bondad de indicarnos la forma de salir —comentó Charlie mirando a Shirham. —Mi alfombra os llevará —dijo éste—. Pero antes tenéis que jugar conmigo una partida de ajedrez. Y además, como estoy harto de números astronómicos y plazos interminables, tendréis que ganarme en el menor número de jugadas posible. Acto seguido, el rey sacó de una caja de marfil primorosamente labrada las piezas de ajedrez y las dispuso sobre el tablero. Colocó las blancas de su lado e hizo el primer movimiento: adelantó una casilla el peón del alfil de rey. 

     —¿Cómo le vamos a ganar en el menor número de jugadas? —le susurró Alicia a Charlie—. ¡Y encima juega él con las blancas! —Eso facilitará las cosas —la tranquilizó el escritor. —¿Por qué? —Si el rey nos desafía a ganarle en el menor número de jugadas es porque ello es posible, pues de lo contrario no sería un reto honrado. Y para que sea posible, él tiene que colaborar —explicó Charlie, adelantando una casilla el peón de rey negro. —¿Y cómo sabemos que es honrado? —le preguntó Alicia en voz baja. —Un hombre que paga una deuda de 18 trillones y medio de granos de trigo tiene que ser honrado —sentenció el escritor. Shirham adelantó dos casillas su peón de caballo de rey y dijo: —Ahora tiene que jugar la niña, puesto que la primera jugada la ha hecho el hombre. —Ten en cuenta, Alicia —le advirtió Charlie—, que para que la partida sea la más corta posible tienes que ganar ya. —¿Ya? —exclamó la niña. Observó con atención la disposición de las piezas, y por fin movió la dama en diagonal hasta el borde del tablero—. ¡Jaque mate! 

El Avión y la Puerta

Prof. Maximino Rosado Soto

Tomada del libro Matemáticas-Historia de los números, símbolos y el espacio  por

IRVING ADLER , ed 1984

El Avión y la Puerta

     Julio estaba construyendo un avión de iuguete de gran tamaño en la habitación que le servía de taller. Cuando ya estaba a punto de pegar las alas al fuselaje del aeroplano, Julio pensó: "¿Pasará el avión por la puerta en cuanto las alas estén en su lugar? Las alas miden 3 1/2 metros de punta a punta, y la puerta 2 metros de anchura por 3 metros de altura." ]ulio no podría pasar el avión por la puerta, a menos que lo inclinara. Podemos ayudar a Julio a resolver su problema averiguando qué relación hay entre los lados de un triángulo rectángulo. Tracemos en una hoia de papel cuadriculado un triángulo rectángulo"de cuatro unidades de anchura (primer cateto) por tres unidades de altura ( segundo cateto ) . Midamos ahora la hipotenusa (el lado más largo ) . Este último lado tendrá cinco unidades de longitud. Construyamos otros dos triángulos rectángulos, como los del dibujo, y midamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos:

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    4                3                  5

    8                6                 10

   12               5                 13

Observemos los números correspondientes a cada triángulo; aparentemente no hay relación alguna entre ellos, pero sí existe una relación escondida entre ellos. Esta saltará a la vista si elevamos al cuadrado cada uno de los números. 4² +3² = 5², o sea 16 + 9 = 25 cada conjunto puede mostrarse.

Hace 2,500 años, Pitógoras formuló un teorema, el cual expresa que un triángulo rectángulo, el cuadrado de unos de los cotetos más el cuadrado deI segundo cateto, siernpre es igual al cuadrado de Ia hípotenusa.

Los eiemplos anteriores establecen esa regla que descubrió hace unos dos mil quinientos años Pitágoras; es decir: (cateto)²+ (cateto)²= (hipotenusa)².  Si aplicamos esta regla, nos ayudará a resolver el problema de Julio. Nos damos cuenta de que la anchura, la altura y la diagonal de Ia puerta, forman un triángulo rectángulo. Sus catetos miden, respectivamente, 2 y 3 metros. De aquí resulta: 2² +3² =4+9= 13.  Como 13 es el cuadrado de la diagonal por Ia que el avión debe pasar, tenemos que elevar al cuadrado la distancia de punta a punta de las alas, para saber si es o no más pequeña que Ia diagonal de la puerta. La distancia de punta a punta de las alas es de 3 1/2 metros. 

Por lo tanto 3 ½ X 3 ½= (3 ½)², o sea 7/2 x 7/2= 49/4 o 12 ¼

Este resultado es menor que 13; por lo tanto el aeroplano podrá pasar, ladeándolo, por la puerta. He aquí tres conjuntos de números. Sólo dos de ellos obedecen al teorema de Pitágoras.  ¿Cuáles son?

Cateto     Cateto     Hipotenusa

    9                12               15

    8                15               17

   12               15               18

      Abarcando un poco más esta lectura, podemos encontrar que hay 3 valores numéricos que satisfacen el teorema de pitágoras. A estos 3 números se les llama triples pitagóricos. Esto se conoce como el recíproco del teorema de pitágoras que dice;  Si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la medida del lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo. ¿Cuántos triples pitágoricos puedes hallar?

Estos números deben satisfacer la ecuación del teorema de pitágoras   a² + b² = c².  Podemos resolver la medida de los lados de un triángulo rectángulo despejando las variables a y b en donde a²= c² - b² y b²= c²-a², de acuerdo a las medidas que se tengan de los catetos y la hipotenusa.

El señor del Censo

Prof. Maximino Rosado Soto

del libro de Paenza, Adrián    Matemática para todos - 1a ed. - Buenos Aires : Sudamericana, 2012.      ISBN 978-950-07-4039-5

El señor del censo

     Haga de cuenta que el corriente es uno de los años en los que cada país censa a sus habitantes. No importa en qué lugar del mundo esté, los censos suelen suceder cada diez años. El siguiente problema es —obviamente— ficticio, pero requiere de prestar atención a la forma en la que está planteado para poder encontrar la respuesta. En principio, parecería que no hay suficientes datos, pero créame, no es así. Acá va. Imagine conmigo esta historia: “el señor del censo” golpea la puerta en una casa y desde adentro contesta una señora que lo hace pasar. La dueña de casa le ofrece un café. El señor va preguntando y tomando nota de las respuestas mientras llena el formulario “tipo”. Llega un momento en que le pregunta a la señora: ¿cuántos hijos tiene usted?
—Tengo tres hijas —contesta la mujer.
—¿De qué edades? —insiste el señor del censo.
—Vea, si consideramos números enteros, el producto de las edades resulta ser 36
—vuelve a decir la señora.
—Entiendo —dice el censista —, pero todavía no puedo deducir las edades.
— Mire, me acabo de dar cuenta de que aunque le dijera la suma de las edades, usted tampoco podría deducirlo —insiste la mujer.
— Bueno, en ese caso le pido que por favor me diga algo más —dice el señor.
— En ese caso puedo agregarle que a Elena, mi hija mayor, le gustan mucho los canarios —termina diciendo la señora.
— Ahora sí —concluye el “señor del censo”—, ahora ya sé las edades.

     ¿Qué pasó? ¿Por qué ahora sí puede deducir las edades? Le propongo que antes de darse por vencido, se tome un rato y piense. Analice las posibilidades y no se someta (al menos no tan rápido) a la tentación de decir: “faltan datos”. Si me puedo permitir sugerirle algo, entreténgase con el problema tanto como pueda. Y disfrútelo. La solución está acá nomás.
Solución
Como las tres edades son números enteros, y el producto es 36, veamos cuáles son todas las posibilidades para las edades de los hijas. El número 36 puede descomponerse como producto de tres números de varias maneras. Acá está la lista completa:
36 = 1 x 1 x 36
36 = 2 x 2 x 9
36 = 2 x 3 x 6
36 = 1 x 6 x 6
36 = 3 x 3 x 4
36 = 1 x 2 x 18
36 = 1 x 4 x 9
36 = 1 x 3 x 12

Es decir, hay ocho posibles combinaciones de edades entre las tres niñas. Ahora bien: en un momento de la charla, la señora le dice al censista que “aunque le diga la suma de las edades usted tampoco podría deducirlo”. Calculemos entonces las sumas de las ocho combinaciones que escribí:
1 + 1 + 36 = 38
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
1 + 6 + 6 = 13
3 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 18 = 21
1 + 4 + 9 = 14
1 + 3 + 12 = 16

     Como se ve en esta lista, hay solamente dos sumas que se repiten, y son las ternas de números que suman 13. O sea, cuando la señora le dice al “señor del censo” que aunque le dijera la suma de las edades él no podría deducirlo, le está dando un dato extra. Por ejemplo, si ella le dijera que la suma es 38, el censista ya sabría que las edades son (1, 1, 36). O si le dijera que la suma es 11, las edades serían (2, 3, 6). Por lo tanto, las únicas dos ternas en las que la suma es igual o se repiten son:
(2, 2, 9) y (1, 6, 6).

     Ya sabemos, entonces, que tiene que ser alguna de las dos ternas. Sí, pero ¿cuál? Y acá es donde apelamos a un dato que pareciera irrelevante cuando la señora lo dijo (¿quiere volver para atrás usted y releer cada frase?). Cuando la mujer dice que a Elena, la hija mayor, le gustan los canarios, quiere decir que hay una hija mayor. O sea, hay una de las tres hermanas que es la mayor de todas. Si uno revisa las dos ternas, de las dos, la única que tiene esa propiedad es la terna (2, 2, 9) (Elena tiene 9 años entonces). La otra terna (1, 6, 6), no tiene una “hija mayor”. Eso termina por resolver el problema. Lo que parecía inocente (una vez más, parece inocente, porque es inocente) y que le faltaban datos, sin embargo, termina siendo accesible y resoluble.

El juguete más vendido de la historia

Prof. Maximino Rosado Soto

Lectura del Libro Matemáticas para todos de  Paenza, Adrián   - 1a ed. - Buenos Aires Sudamericana, 2012.    ISBN 978-950-07-4039-5

 

                            El juguete más vendido de la historia

¿Alguna vez se preguntó cuál es el “juguete” que más se vendió en la historia de la humanidad? ¿Cuáles podrían ser los candidatos? Pelotas y muñecas deberían estar muy arriba en el podio, ¿no? ¿Qué otros se le ocurren? No sé si es posible dar una buena respuesta. En todo caso, yo no la tengo, pero sí me sorprendió saber que hay uno del cual se vendieron más de ¡350 millones de copias en los últimos 32 años! Me estoy refiriendo a un cubo. Sí, a un cubo. No un cubo cualquiera, pero un cubo al fi n. Erno Rubik era un escultor y profesor de arquitectura húngaro que enseñaba en la Academia Nacional de Arte Aplicado en Budapest, Hungría. Nació en julio de 1944, hijo de una madre poeta y un padre que era ingeniero aeronáutico. Corría el año 1974, época en la que no había computadoras personales ni programas que permitieran reemplazar a los diseños manuales, y Rubik tenía ante sí uno de los desafíos a los que se enfrentaban los de su época (y la mía): lograr que sus alumnos pudieran “imaginar” objetos en tres dimensiones y ser capaces de visualizar —entre otros movimientos— sus posibles rotaciones y simetrías.

Como se sentía impotente y frustrado, diseñó en su casa un cubo formado por pequeños “cubitos”. Cada una de las caras del cubo grande (y por lo tanto, los nueve cuadraditos que la componen) tenía un color asignado: blanco, rojo, azul, naranja, amarillo y verde4. La particularidad del diseño es que cada cara externa y el “anillo central” pueden rotar independientemente del resto. Esto lo logró Rubik con un mecanismo interno que le permite pivotear y lograr múltiples confi guraciones. Y así nació el Rubik’s Cube o el Cubo Mágico. Rubik lo patentó en 1975 y recién en 1977 se empezó a comercializar en Hungría y en 1980 se expandió al mundo entero. Su estreno internacional se hizo en distintas ferias del juguete, en Londres, París, Nuremberg y Nueva York, y eso sucedió en un plazo de dos meses, entre enero y febrero de 1980. A partir de allí, su evolución fue imparable. Rubik se transformó en multimillonario en forma casi instantánea, y hay mucha gente que sostiene que el Cubo Mágico es hoy el “best seller” de los juguetes de la historia contemporánea. Si usted le dedica un rato a buscar en YouTube, es posible encontrar más de 46 mil videos con instrucciones y soluciones de distinto tipo, y el video que figura en la página web: http://www.youtube.com/watch?v=HsQIoPyfQzM  ya tuvo más de ¡22 millones de visitas! De hecho, ya se ha generado una cuestión de culto, con seguidores incondicionales, seminarios en distintas partes del mundo y hasta una página of cial para todos los fanáticos: http://www.rubiks.com/ El Rubik’s Cube tiene, además, un lugar en el famoso Museo de Arte Moderno de Nueva York y fue aceptado por la Enciclopedia Inglesa de Oxford a los dos años de que se hubiera esparcido por el mundo.

1.  La posición inicial del cubo es cuando cada cara es del mismo color. O sea, que los nueve cuadraditos que componen cada cara exterior son de la misma tonalidad.

El cubo

El cubo en sí mismo consiste de 27 “minicubos” con una distribución de 3 de alto por 3 de largo por 3 de ancho. En la práctica hay sólo 26 de estos pequeños “cubitos”, ya que el que debería ocupar el lugar del centro, el único que no tiene una cara exterior o que se pueda ver desde afuera sin desarmarlo, está reemplazado por el mecanismo que es el que le permite al Cubo Mágico pivotear y hacer todos los movimientos. Ése fue el gran logro de Rubik. Los 26 cubitos no son todos iguales: hay ocho “cubos esquinas”, doce “cubos aristas” y los seis restantes, ocupan los lugares del centro de cada cara exterior y están fijos. Y acá empiezan algunos cálculos. Hay 40.320 maneras(2) de permutar los cubos que están en las esquinas. Siete pueden ser orientados(3) independientemente y el octavo depende de los otros siete. A su vez, cada uno de estos cubos puede rotarse en tres posiciones diferentes y producir un total de 37 = 2.187 posibles distribuciones. Hay, además, 239.500.800 formas de intercambiar las aristas(4). Y a esta conclusión quería llegar: el número total de posiciones a las que uno puede llegar rotando el cubo es de 43.252.003.274.489.856.000. Es decir, un poco más de 43 trillones, o lo que es lo mismo, el número 43 seguido de ¡18 ceros! Para tener una idea de lo enorme que es este número, piense que si usted pudiera probar un millón de confi guraciones por segundo, tardaría casi un millón y medio de años para probarlas todas. Son muchas.

2.  Estas permutaciones están contadas por el número 8! (el factorial del número 8) = 40.320.

3.  Por orientados entiendo que pueden ser ubicados libremente sin que la posición de unos afecte a los otros.

4.  Esto resulta de dividir el factorial del número 12 por 2, o sea 12! / 2 = 239.500.800, ya que además una permutación impar de las equinas genera una permutación impar de las aristas también. Hay once aristas que se pueden intercambiar en forma independientemente, pero la duodécima depende de los movimientos de las otras once y, por lo tanto, se tienen 211 = 2.048 posiciones posibles.

La mística

Varios millones de personas en el mundo se desafían para ver quién puede resolverlo en la menor cantidad de tiempo y en la menor cantidad de pasos. Pero ¿qué quiere decir resolverlo? Llamemos “posición original” o “posición inicial” a la que presenta el cubo con cada una de las seis caras con un color que la distinga. Imagine que yo “desarreglo” esa configuración hasta llevarla a cualquier otra. Más allá de jugar a llevarlo al punto de partida, las preguntas que surgen son:

a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para garantizar (o asegurar) que uno puede llevar el cubo desde cualquier posición (8), hasta la original? b) ¿Cuál es el tiempo mínimo para hacerlo empezando con cualquier configuración?

8.  En realidad, debería decir “cualquier posición posible de acceder desde la posición original. El libro The Complete Cube Book (El libro completo del Cubo es mi traducción libre), escrito por Roger Schlafl y, demuestra que no toda disposición que uno pueda diseñar en el cubo sea “alcanzable” desde la posición inicial. Como usted advierte, si uno se inventara una posición a la que no se puede llegar desde la original, mal podría intentar volver hacia atrás.

9.  Aquí vale la misma observación que para el punto anterior

.

            Son dos preguntas de distinto orden de dificultad. Contestar la primera significa elaborar una estrategia que sirva siempre para minimizar el número de rotaciones (o movimientos permitidos). La segunda pregunta involucra aprender la estrategia diseñada eventualmente por otro, y tener una destreza manual que la primera no requiere y ni siquiera considera. Por supuesto que no se me escapa que la abrumadora mayoría de las personas se sentirían satisfechas con sólo resolver el cubo en una situación dada y listo. Es decir, enfrentados con una posición cualquiera, llevarlo a la posición inicial que tiene cada cara de un solo color. Sin embargo, para los matemáticos, ingenieros, diseñadores de estrategias y algoritmos, contestar la primera pregunta resulta relevante. Hasta febrero del año 2012 no hay una respuesta final, pero sí algunos datos parciales. Sígame porque es interesante. Se sabe que hay ciertas confi guraciones para las que inexorablemente se necesitan 20 movimientos para llevarlos a la posición inicial o de base. ¿Qué dice esto? Dice que el día que se encuentre el mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20. Recuerde que lo que se busca es encontrar el número mínimo de movimientos que resuelva cualquier posición. Si ya se sabe que hay algunas que requieren de 20, el día que se encuentre el mínimo, este mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20 entonces. Pero, por otro lado, y esto es lo que hace fascinante la búsqueda, Gene Coopman y Dan Kunkle, dos matemáticos de la Northeastern University en Illinois, Estados Unidos, demostraron que 26 movimientos son sufi cientes para garantizar que se pueda volver desde cualquier posición a la inicial. Por lo tanto, el mínimo que se busca está entre 20 y 26. El hecho de que haya una grieta entre 20 y 26, aunque sea muy pequeña, no deja satisfecho al mundo de la matemática.

Hasta que no se llegue a la situación en los que ambos coincidan, no se podrá decir que el problema está resuelto.

¿Y para qué podría servir?

Se han encontrado múltiples formas de resolver el Cubo Mágico y la mayoría, en forma independiente. La más popular durante un tiempo fue la desarrollada originalmente por David Singmaster, un matemático norteamericano profesor en Londres en la Universidad de South Bank, que publicó su solución en 1981 en el libro Notes on Rubik’s Magic Cube (Notas acerca del Cubo Mágico de Rubik). Sin embargo, fue Jessica Fridrich, también doctora en matemática, nacida en la ex Checoslovaquia y luego emigrada a Estados Unidos, quien diseñó la estrategia más reconocida mundialmente hasta hoy. Jessica es investigadora en la Universidad de Binghamton en el estado de Nueva York. Lo interesante es que su trabajo es reconocido mundialmente no solamente por haber elaborado los algoritmos más efi cientes que se conocen hasta hoy para resolver el Cubo Mágico, sino que ahora vive con otra obsesión que pretende resolver usando lo que aprendió en su experiencia con el Rubik’s Cube: dada una fotografía cualquiera, ser capaz de recorrer el camino inverso y descubrir ¡cuál fue la cámara que se utilizó para obtener la foto! Parece una tarea imposible, pero en particular el FBI y otras agencias equivalentes quieren utilizar los resultados para descubrir a malhechores que se dedican a la trata de personas o a la pornografía infantil.

Por último

Hay varias competencias internacionales para ver quien “resuelve” el cubo más rápidamente. El primer campeonato mundial del que se tiene registro se hizo en Munich en 1981, y fue organizado por la Guía Guinness de Récords. A cada participante se le entregó un cubo que había sido “movido” de su posición inicial 40 veces y lubricado con vaselina y aceites que hicieran más fácil las rotaciones. El ganador logró volver el cubo a su posición original en 38 segundos. Pero eso pasó hace mucho tiempo. Cuando Jessica Fridrich ganó la competencia que se hizo en 1982 en la ex Checoslovaquia, lo hizo en un poco más de 23 segundos. Hoy, treinta años más tarde, ese record ha sido pulverizado múltiples veces: Feliks Zemdegs, de Australia, es el rey en vigencia: resolvió el “cubo” en ¡5,66 segundos! (en julio de 2011), en Melbourne. En defi nitiva, un prototipo inocente, diseñado por un profesor húngaro para ilustrar a sus alumnos, terminó transformándose en uno de los juguetes más vendidos de la historia, con millones de personas en el mundo cautivadas y atraídas con distintos niveles de fanatismo: algunos (supongo que la enorme mayoría) sólo para entretenerse, otros para investigar cómo resolver el problema general en una cantidad mínima de pasos, y otros tantos para exhibir su destreza manual. En cualquiera de los casos, es un ejemplo más de la capacidad creativa del ser humano y un canto a la imaginación (10).

10.  Para aquellos a quienes les interese avanzar en la historia, ingeniería y algoritmos que involucran al Rubik’s Cube, les sugiero que utilicen cualquier “buscador” en Internet y basta con escribir “Rubik’s Cube” para recibir una lista de más de diez millones de páginas dedicadas a él. Si tiene tiempo y tanta curiosidad al respecto, le sugiero que lo haga.