El Número de Oro y Fibonacci

El Número de Oro – (PHI) La Proporción Divina

Y la Sucesión de Fibonacci  

El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega F (fi) o Phi (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional: 

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Observa el orden de los números:   0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,…….Conocida como la serie de Fibonacci en honor al matemático italiano que la desarrolló.

Se comienza en 0 y el siguiente número es 1. De ahí en adelante cada término siguiente se produce mediante la suma de los dos números anteriores. Se empieza la serie sumando 0 más 1, que es igual a 1, luego 1 más1, que es igual a 2, sigue 1 más 2, que es igual a 3, 2 más 3, que es igual a 5, luego 3 más 5, que es igual a 8 y se sigue la secuencia, 8 + 5 = 13, 13 + 8 = 21, 21 + 13 = 34, la suma puede seguirse indefinidamente. Lo peculiar de esta serie es que si dividimos el número siguiente entre el número anterior, el resultado se va aproximando al valor del número de oro según los números se van haciendo mayores.

Veamos el siguiente ejemplo:   Al dividir 13 entre 8 nos da 1.625, 21dividido entre 13 es igual a 1.615, 34/21 = 1.619, 55/34 =1.617, 89/55 = 1.618, y de esta manera indefinadamente seguiremos obteniendo el número de oro, que es igual a PHI (1.618033…..) 

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Historia del Número de Oro

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos (pentagrama –estrella) de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media extrema y razón" era conocido generalmente como "la sección". En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor). 
 

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.

Platón (circa 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.  La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo. Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sección áurea.  En 1525, Alberto Durero publica ´´Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.

 

Los artistas del renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que Dios es un gran matemático"

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.  En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

La sección áurea en la naturaleza 

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:
Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre los lados de un pentáculo. (Pentagrama)
La relación entre los lados de un pentágono.
La disposición de los pétalos de las flores (elnúmero áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una y equivale a F tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
La relación entre el diametro de la boca y el de la nariz
Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los números phi de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse más al número phi.    La sección áurea en el arte:

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (?) en vez de Phi (F).

El Número Áureo en la Música

Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.  El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

La sección áurea en el pentáculo

(Pentagrama, estrella de  cinco puntas) e xiste la relación del número

 áureo también en el pentáculo o pentalfa, en donde Leonardo da

 Vinci lo uso para asentar en él al hombre de Vitruvio.

Gráficamente el número áureo es la relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste. Si se toma como unidad un lado del pentágono interior, cualquier línea que marca los brazos de la estrella mide F. También la longitud total de cualquiera de las cinco líneas que atraviesan la estrella mide F3, mientras que la suma del lado interior y cualquiera de sus brazos es F2.  Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. 

 
Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F.

Qué es y de dónde proviene el número áureo

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra. Matemáticamente, siendo las partes a y b:

 

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Esta razón, que cumple la propiedad, es denominada razón áurea. Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior:
esión anterior: 

 

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 y b > 0, o en otras palabras, tomando su valor positivo: 

 

Dividiendo todo por b se obtiene: 

  Esta proporción del número de oro se presenta en todo el universo. Hoy día se presenta esta proporción áurea en objetos modernos como la tarjeta de crédito o débito, en los teléfonos celulares, televisores, símbolos o logos de compañía, instrumentos musicales, construcciones de edificios modernos y muchas cosas más. Tienes una tarea en tu vida, de descubrir lo bello que Dios ha creado en la naturaleza utilizando el número de oro, conocido como la proporción divina.  Fibonacci  presentó la sucesión en su libroLiber Abaci , publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Edouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.  Para más información puedes leer libros, revistas, buscar en la internet…

Ahora que estás familiarizado con la sucesión de Fibonacci y el número de oro,  puedes contestar las siguientes dos preguntas:

11)  ¿Quién fué Leonardo de Pisa (Fibonacci) y Alberto Durero?

22)   Menciona 3 elementos de la naturaleza relacionados con la sección áurea. 
  3) ¿Como se relacionan el número de oro (sección áurea) y la sucesión de Fibonacci?
 

Esta parte es opcional, pero puedes aprender más acerca de la Espiral de Durero.
Para que te diviertas: en un papel cuadriculado, construye la Espiral de Durero. Como se muestra aquí, lee las instrucciones para lograrlo.

1)      Usando una hoja regular de papel cuadriculado volteada hacia un lado (horizontalmente), siguiendo los pasos.  Centraliza los primeros cuadrados en la hoja. Si el papel cuadriculado tiene cuadrados de 1/4 pulgada, puedes usar esa medida, pero sino, utiliza la medida de dos cuadritos para un cudrado, que es aproximadament 1 cm²  para los primeros dos cuadritos.

2)      Luego con la medida del segmento de los dos cuadritos, trazarás un cuadrado dejandote llevar por la cuadricula del papel. Empieza con el segundo cuadrado, en el papel cuadriculado, como se muestra abajo.

3)      De igual manera, trazará los siguientes cuadrados que quepan en la hoja de la cuadricula. Formarás el rectángulo áureo como se muestra abajo.

  4)      Seguirás realizando el procedimiento hasta completar  un rectángulo áureo que tiene las proporciones del número de oro. Deberá visualizarse de esta manera vertical o de manera horizontal si se cambia la perpectiva.

9)      Usa la secuencia de Fibonacci. Esto funciona sumando los dos números previos: Obtienes el siguiente empezando  desde el cero y 1; y así continúa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. El largo de un lado de cada cuadrado debe de igualar al número de la secuencia (el cero no se necesita para dibujar  ninguna parte del cuadrado), pero el punto de inicio se llamará (0, 0), si lo ponemos de esa manera. Tendrás un cuadrado  1X1 con un segundo 1X1 dibujado a un lado, después uno de 5X5, y después para encajar un 8X8. Debajo de todo eso, pon un 13X13 y continúa así, hasta el cuadrado más grande que quepa en tu hoja.  Dibuja cada uno de estos cuadrados en sentido  contrario a las manecillas del reloj. Finalmente, conforme dibujes la curva a través de los cuadrados, se formará la espiral.

Los números primos, compuestos y factorización.

Los números primos, compuestos y factorización

    En la teoría de números uno de los conceptos importantes es tener bien claro la divisibilidad.

El concepto de la divisibilidad debemos tenerlo claro para poder saber si un número es divisible entre otro, ya que en muchas ocasiones nos facilita la factorización de un número natural. Decimos entonces que un número natural es divisible entre otros si, al dividir el primero entre el segundo, se obtiene un residuo de cero (0). El conocer ciertas reglas de divisibilidad te ayudarán a comprender mejor los números primos, compuestos y la factorización.

Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad

El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un número entero cualquiera n:

• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,

• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,

• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es

impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el

número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),

• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5, 
* Para determinar si un número es divisible por 7,saca el último dígito del número, duplícalo y réstalo del número restante. Si este resultado es exactamente divisible por 7 (ej, 14, 7 , 0 , -7, etc.) entonces el número es divisible por 7. Puede ser que necesites repetir esto varias veces. 
310 - saca el ultimo dígito del número que es el 1
-2 - dobla el dígito separado y réstalo
-------
308 - repite el proceso sacando el 8
-16 - y doblálo para obtener 16 y réstalo
------
14 - el resultado es 14 que es un múltiplo de 7  

• es divisible entre 8 si y sólo si  el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,

• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,

• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,

• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras

en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).

     Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque

sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar

(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161 sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).

Factorización en primos

La descomposición en factores primos de un entero n, también llamada factorización en primos o

simplemente factorización, consiste en expresar n como producto de números primos; como ya hemos dicho, esta forma de expresarlo es única salvo el orden de los factores primos. Para números

relativamente pequeños, esta factorización suele ser sencilla, por ejemplo 12=22×3, 56=23×7, o 51=3×17.  Para números más grandes, como 123761232, la tarea empieza a ser más complicada, de entrada porque, ¿cómo sabemos qué factores primos tiene 123761232? ¿Y si 123761232 fuera él mismo un número primo?  Yendo por partes, vemos en primer lugar que 123761232 no puede ser primo; de hecho, aplicando las reglas de la división vemos que es divisible por 2 y por 9, pero ni por 5 ni por 11. Podemos en primer lugar simplificar el problema, “sacando” todos los factores de 2 que podamos, dividiendo sucesivamente por 2 mientras se pueda, añadiendo 1 al exponente de 2 en la factorización del número por cada division que podemos hacer; otro tanto haríamos con el 3.

Obtenemos así que 123761232=24×32×859453, y ahora las reglas de divisibilidad nos dicen que 859453 no es divisible por 2, 3, 5 u 11. Si intentamos dividir entre 7, vemos que la división da exacta (¡pero ya “sólo” hemos tenido que dividir entre 7 un número de 6 cifras, no uno de 9 cifras!). El resultado de la división, 122779, ya no es divisible entre 7. Tenemos que probar ahora los números primos mayores que 11, es decir, 13, 17, 19, 23,.... Tras varios intentos infructuosos, llegamos a que 122779=59×2081, luego 123761232=24×32×7×59×2081, y ya hemos acabado la factorización.

La criba de Eratóstenes

¿Cómo sabemos en el anterior caso que ya hemos acabado? ¿Y cómo sabemos por qué números intentar dividir?  Claramente, 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos, pero ¿cómo sé que he dividido por todos los primos y no me he dejado ninguno? ¿Puedo en algún momento dejar de dividir y decir que 122779 es primo (si lo fuera)? Las respuestas a estas dos preguntas las da el procedimiento conocido como “criba de Eratóstenes”. Escribimos primero todos los enteros del 1 al 100, y luego tachamos todos los múltiplos de 2 (menos el 2). Después tachamos los múltiplos de 3 (menos el 3). Cuando llegamos al 4, vemos que ya está tachado por ser múltiplo de 2, así como todos los múltiplos de 4, que también son múltiplos de 2. El menor entero sin tachar es el 5, y tachamos todos los múltiplos de 5 (menos el 5). El siguiente entero sin tachar es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7 (menos el 7). Si haces esto, comprobarás que todos los números que te quedan sin tachar entre el 2 y el 100 son primos.

¿Por qué con este procedimiento no nos dejamos ningún primo entre 2 y 100 sin tachar? 100 no es primo, y si un número n menor que 100 no es primo, entonces lo podemos escribir como el producto de dos enteros a y b mayores que 1, n=a×b (a y b pueden ser ambos primos, o no). Claramente, uno de estos dos números es menor que 10, porque si fueran ambos mayores o iguales que 10, entonces n sería mayor o igual que 100. Tenemos entonces que, o a, o b, es menor que 10, y como ya hemos visto, los únicos números sin tachar menores que 10 son 2, 3, 5 y 7 (los demás son múltiplos de alguno de ellos). Luego a tiene un factor primo que es 2, 3, 5 o 7, y por lo tanto n también lo tendría. ¡Entonces, si n está sin tachar y es menor que 100, es primo! De la criba de Eratóstenes, obtenemos dos conclusiones:

• si intento dividir a un número n por todos los primos menores o iguales que su raíz cuadrada (que

puede no ser entera), y en ningún caso obtengo una división exacta, entonces n es primo, y

• puedo obtener todos los números primos menores que N, sin más que repetir la criba de

Eratóstenes, hasta llegar a la raíz cuadrada de N (que nuevamente, no tiene por qué ser entera).

Por ejemplo, queremos saber si 122779 es primo: si hallo su raíz cuadrada por el método tradicional, veo que será 350 y decimales, luego me basta con dividir hasta el mayor primo menor o igual que 350, y como la raíz cuadrada de 350 es 18 y decimales, me basta con realizar la criba de Eratóstenes, tachando todos los múltiplos de los primos hasta 17 inclusive, es decir, de 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. El mayor primo menor o igual que 350 resulta ser 349. ¡Menos mal que 122779 resulta ser divisible por 59!

Ahora bien, una vez que hemos encontrado que 122779=59×2081, paramos. ¿Por qué? Bueno, según lo anterior, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor que su raíz cuadrada, que es 45 y decimales, es decir, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor o igual que 43. ¡Pero esos ya los hemos probado todos, cuando intentábamos hallar un factor primo de 122779!  Luego 2081 es primo, y hemos acabado la factorización.

Hoy con la ayuda de los ordenadores (computadoras), determinar los factores primos de números muy grandes, puede ser un simple ejercicio. Un gran ejemplo de cómo las computadoras han cambiado el mundo es la factorización de un número de 129 dígitos conocido como RSA-129 publicado en la revista Science News del 7 de mayo de 1994. Este número había sido factorizado por el método de la criba cuadrática (QS, por sus siglas en inglés), con más de 600 computadoras que trabajaron en conjunto. Aquí está el número y sus dos factores:
  114,381,625,57,888,867,669,235,779,976,146,612,010,218,296,721,242,362,562,561,842,935,706,
935,245,733,897,830,597,123,563,958,705,058,989,075,147,599,290,026,879,543,541 =  3,490,529,510,847,650,949,147,849,619,903,898,133,417,764,638,493,387,843,990,820,577  x  32,769,132,993,266,709,549,961,988,190,834,461,413,177,642,967,992,539,798,288,533.

     También en un escrito del 1 de octubre de 1994, publicado en Science News, Ivars Peterson da una explicación fascinante de un descubrimiento de una máquina para factorizar de 75 años de antigüedad. En el 1989, Jeffrey Shallit de la Universidad de Waterloo, en Ontario, encontró un artículo de una poco conocida revista francesa de 1920 en la que el autor, Eugene Olivier Carissan, informó su invención del aparato para factorizar. La máquina fué encontrada en Francia;  aún existía y funcionaba, estando almacenada en un cajón de un observatorio astronómico en Floirac, cerca de Burdeos. La máquina funcionaba y al probarla, al Sr. Carissan le tomó 10 mínutos probar que 708,158,977 es un número primo, y fue capáz de factorizar un número de 13 dígitos. Aunque no puede compararse con la tecnología de las computadoras modernas, fue un logro sígnificativo en la época de Carissan.

Ganando dinero con los números primos

El 14 de noviembre de 2001, la computadora de Michael Cameron, un a T-Bird con procesador AMD a 800 MHz, encontró el 39⁰ número primo de Mersenne conocido, después de sólo 42 días de cómputo en los ratos en que se encontraba disponible una computadora. El número tiene 4,053,946 dígitos. La fundación Electronics Frontier ha pagado premios de 50,000 dólares por números primos que rompan el récord, a partir del primer primo con más de 1 millón de dígitos.  El primer descubridor de un primo de 10 millones de dígitos recibirá 100,000 dólares. Si quiere unirse a la GIMPS (gran búzqueda en internet de primos de Mersenne) revise en http:www.mersenne.org.

Responde a las siguientes preguntas:

1)      ¿Qué es la Criba de Eratóstones?

2)      Menciona 4 números primos de la criba de Eratóstenes cuya suma de los dígitos sea 13.

3)      Indica cuales de estos números son primos o compuestos: