Por Maximino Rosado Soto - Comprensión lectora y matemáticas.
PATRONES,-SECUENCIAS- SERIES. Una mirada al Universo, la naturaleza.
Los patrones en la naturaleza son formas claramente regulares encontradas en un medio natural. Estos patrones se pueden visualizar en diferentes contextos e incluso pueden ser a veces modelados matemáticamente. En este ámbito son estudiadas las simetrías, los árboles, los espirales, los meandros, las ondas, la espuma, las teselaciones, las fracturas y las rayas. La concepción moderna de los patrones visibles se ha ido desarrollando gradualmente a través del tiempo.
Fueron los filósofos griegos los primeros en estudiar estos patrones, encabezados por Platón, Pitágoras y Empédocles. intentando encontrar un orden en la naturaleza.
Las matemáticas, la física y la química pueden explicar los patrones de la naturaleza a diferentes niveles. Los patrones de los seres vivos son explicados por procesos biológicos de selección natural y selección sexual. En el estudio de la formación de patrones se utilizan modelos computacionales para simular una gran cantidad de patrones.
¿Por qué la naturaleza crea patrones en sus formas? El orden caótico que explica la vida.
Las plumas de un pavo real, las ondas de las corrientes de las olas vistas desde el aire, la ramificación cuidadosa de las ramas de un árbol o de las pequeñas venas de una de sus hojas... Todo tiene algo en común.
Las formas hexagonales de las rocas de Giant's Causeway en el Reino Unido, la psicodelia de las flores de un romanesco o las rayas y manchas de colores en algunos peces tropicales. Son todos ejemplos de cómo la naturaleza genera su propia geometría, tan peculiar como llamativa y, a fin de cuentas, perfecta. Pero, ¿cómo es posible que cosas tan dispares adquieran la misma forma una y otra vez? ¿Eran así desde el principio? ¿Cómo pudieron aparecer? Para que el caos sea posible, el orden tiene su intríngulis.
Rayas, espirales, manchas, ramificaciones, mosaicos o burbujas son algunos de los patrones más comunes… Nada en la naturaleza es casualidad, o sí, y en este caso la respuesta al misterio podemos encontrarla en el agua que con su transparencia nos brinda la posibilidad de entender qué está pasando en el mundo. Cuando el agua se congela, las moléculas que la conforman comienzan a agruparse. Estas moléculas tienen una forma doblada particular que hace que se apilen en grupos con forma de hexágonos a medida que se congelan. En otras palabras: todo tiene que ver con las moléculas.
Un orden universal
Como un copo de nieve, en este preciso momento hay miles de millones de patrones que se están formando a pequeña escala porque los materiales se someten a procesos como la congelación, pero también otros como el secado u otro tipo de reacción a un agente externo. Esos cambios luego dan lugar a patrones complejos a mayor escala, es decir, lo que las personas pueden ver: las espirales en el caparazón de un caracol, las plumas de un pavo real, las ondas de las corrientes de las olas vistas desde un avión, la ramificación cuidadosa de las ramas de un árbol, los deltas de un río o las pequeñas venas dentro de una hoja.
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La razón por la que estos aparecen es simple: Los patrones y las formas en la naturaleza responden a la repetición de un orden y surgen del crecimiento y los procesos de adaptación al entorno, explican desde el equipo del proyecto de Laboratorio Biomimético. Ya sea en plantas, animales o rocas, espumas o cristales de hielo, los patrones intrincados que suceden en la naturaleza se reducen a lo que sucede entre átomos y moléculas. Pero resulta que también podemos verlo a escalas inmensas, tan inmensas como el universo mismo.
En este sentido, un ejemplo valioso se halla en la famosa espiral. Esta se encuentra en idéntica proporción en diversas plantas, frutas, conchas de mar y caracoles. Pero también en el cosmos se encuentra el mismo patrón. Por ejemplo, la espiral del caracol es la misma que se encuentra en las galaxias que conforman el universo.
La creatividad de la naturaleza
En cuanto a los patrones naturales a partir del polen en varias plantas comunes como el girasol, los científicos aún no entienden del todo por qué una planta produce un patrón en particular en lugar de otro, afirma Maxim Lavrentovich, profesor de Biofísica Teórica en Universidad de Tennessee (Estados Unidos) en un artículo para The Conversation.
Una "geometría sagrada"
En realidad, lo más evidente es que sea el que sea el motivo y el uso final que puedan tener este y otros patrones en la naturaleza, su variedad, complejidad y orden son fascinantes y nos dejan embobados a todos. Tanto es así que existe una corriente que estudia lo que llaman la "geometría sagrada". Se trata de un término usado para describir las leyes geométricas que crean todo lo que ha llegado a existir. El término fue adoptado hace décadas por multitud de geómetras, antropólogos, matemáticos, arqueólogos e incluso buscadores espirituales.
En cuanto a los patrones naturales a partir del polen en varias plantas comunes como el girasol, los científicos aún no entienden del todo por qué una planta produce un patrón en particular en lugar de otro, afirma Maxim Lavrentovich, profesor de Biofísica Teórica en Universidad de Tennessee (Estados Unidos) en un artículo para The Conversation.
Árboles, fractales
El patrón de ramificación de los árboles fue descrito en el Renacimiento italiano por Leonardo da Vinci . Dijo que: ¨Todas las ramas de un árbol en cada etapa de su altura cuando se juntan tienen el mismo grosor que el tronco [debajo de ellas.¨
Una versión más general establece que cuando una rama principal se divide en dos o más ramas secundarias, las áreas de superficie de las ramas secundarias se suman a las de la rama principal. Una formulación equivalente es que si una rama principal se divide en dos ramas secundarias, entonces los diámetros de la sección transversal de la rama principal y las dos ramas secundarias forman un triángulo rectángulo . Una explicación es que esto permite que los árboles resistan mejor los fuertes vientos.
Los fractales son construcciones matemáticas iteradas infinitamente auto-similares que tienen dimensión fractal. La iteración infinita no es posible en la naturaleza, por lo que todos los patrones 'fractales' son solo aproximados. Por ejemplo, las hojas de helechos y umbelíferas (Apiaceae) son solo auto-similares (pinnadas) a 2, 3 o 4 niveles. Los patrones de crecimiento parecidos a los de los helechos se producen en plantas y animales, incluidos briozoos , corales , hidrozoos como el helecho aéreo , Sertularia argentea y en seres no vivos, en particular descargas eléctricas . Los fractales del sistema Lindenmayer pueden modelar diferentes patrones de crecimiento de árboles variando una pequeña cantidad de parámetros, incluido el ángulo de ramificación, la distancia entre nodos o puntos de ramificación ( longitud del entrenudo ) y el número de ramificaciones por punto de ramificación.
El patrón de ramificación de los árboles fue descrito en el Renacimiento italiano por Leonardo da Vinci . Dijo que: ¨Todas las ramas de un árbol en cada etapa de su altura cuando se juntan tienen el mismo grosor que el tronco [debajo de ellas.¨
Una versión más general establece que cuando una rama principal se divide en dos o más ramas secundarias, las áreas de superficie de las ramas secundarias se suman a las de la rama principal. Una formulación equivalente es que si una rama principal se divide en dos ramas secundarias, entonces los diámetros de la sección transversal de la rama principal y las dos ramas secundarias forman un triángulo rectángulo . Una explicación es que esto permite que los árboles resistan mejor los fuertes vientos.
Los fractales son construcciones matemáticas iteradas infinitamente auto-similares que tienen dimensión fractal. La iteración infinita no es posible en la naturaleza, por lo que todos los patrones 'fractales' son solo aproximados. Por ejemplo, las hojas de helechos y umbelíferas (Apiaceae) son solo auto-similares (pinnadas) a 2, 3 o 4 niveles. Los patrones de crecimiento parecidos a los de los helechos se producen en plantas y animales, incluidos briozoos , corales , hidrozoos como el helecho aéreo , Sertularia argentea y en seres no vivos, en particular descargas eléctricas . Los fractales del sistema Lindenmayer pueden modelar diferentes patrones de crecimiento de árboles variando una pequeña cantidad de parámetros, incluido el ángulo de ramificación, la distancia entre nodos o puntos de ramificación ( longitud del entrenudo ) y el número de ramificaciones por punto de ramificación.
Espirales- estos son comunes en las plantas y en algunos animales, especialmente en los moluscos . Por ejemplo, en el nautilus , un molusco cefalópodo, cada cámara de su caparazón es una copia aproximada de la siguiente, escalada por un factor constante y dispuesta en una espiral logarítmica . Dada una comprensión moderna de los fractales, una espiral de crecimiento puede verse como un caso especial de auto-semejanza.
Las espirales de las plantas se pueden ver en la filotaxis , la disposición de las hojas en un tallo, y en la disposición de otras partes como en las cabezas de flores compuestas y las cabezas de semillas como el girasol o estructuras frutales como la piña y fruto de serpiente , así como en el patrón de escamas en piñas , donde múltiples espirales corren en sentido horario y antihorario. Estos arreglos tienen explicaciones en diferentes niveles (matemáticas, física, química, biología), cada una es correcta individualmente, pero todas son necesarias juntas. Las espirales de filotaxis se pueden generar matemáticamente a partir de las proporciones de Fibonacci : la secuencia de Fibonacci corre 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... (cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores). Por ejemplo, cuando las hojas se alternan en un tallo, una rotación de la espiral toca dos hojas, por lo que el patrón o la proporción es 1/2. En avellana, la proporción es 1/3; en albaricoque es 2/5; en pera es 3/8; en almendra es 5/13. En la filotaxis del disco como en el girasol y la margarita , las flores están dispuestas en espiral de Fermat con la numeración de Fibonacci, al menos cuando la cabeza de la flor está madura para que todos los elementos tengan el mismo tamaño. Las relaciones de Fibonacci se aproximan al ángulo dorado, 137.508 °, que gobierna la curvatura de la espiral de Fermat.
La secuencia de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales, descrita por primera vez por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XIII. Esta serie numérica empieza con 0 y 1, siguiendo con la suma de los dos números anteriores hasta el infinito: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
La secuencia de Fibonacci forma parte de numerosos sistemas, incluso de la naturaleza, por ejemplo, se encuentra en la disposición de las ramas de los árboles, los pétalos de las flores y las hojas de un tallo, siendo el girasol el ejemplo más preciso. Cada uno de los números de Fibonacci se acerca a la llamada proporción áurea, proporción dorada o número de oro, lo que representa la perfección geométrica natural.
Esta serie de números consta de una proporción que ha sido utilizada por siglos en numerosas áreas, desde la arquitectura, el arte, y en nuestros días incluso hasta en el análisis bursátil y las áreas de programación.
En matemáticas, un sistema dinámico es caótico si es (altamente) sensible a las condiciones iniciales (el llamado " efecto mariposa ", que requiere las propiedades matemáticas de mezcla topológica y densas órbitas periódicas .
Junto a los fractales, la teoría del caos se ubica como una influencia esencialmente universal sobre los patrones de la naturaleza. Existe una relación entre el caos y los fractales: los atractores extraños en los sistemas caóticos tienen una dimensión fractal . Algunos autómatas celulares , conjuntos simples de reglas matemáticas que generan patrones, tienen un comportamiento caótico, en particular la Regla 30 de Stephen Wolfram .
Número de oro (proporción áurea) ¿Cómo se calcula la proporción áurea?
El número áureo proviene de una proporción que sólo tiene dos letras a y b, de manera que
:a / b = (a + b) / a Esto es el principio de la economía. Es curioso que la sucesión de fibonacci guarde estrecha relación 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,......
Con esta relación, obtenemos una ecuación de segundo grado. En efecto, planteando a / b = Phi, obtenemos: φ² = φ + 1 Ecuación que tiene una raíz positiva:
Un rectángulo áureo es un rectángulo en el que la relación entre la longitud y la anchura es igual al número Phi.
¿Cuál es el valor del Número de Oro?
La razón, o proporción, determinada por Phi (1,618 ...) era conocida por los griegos como la "división de una línea en la razón extrema y media" y por los artistas del Renacimiento como la "Divina Proporción", razón y número áureo.
El número 5 da lugar a una relación con Phi.
Aunque los monumentos anteriores a la civilización helénica, sobre todo los del antiguo Egipto (la pirámide de Keops tiene 47 siglos de antigüedad), revelan el uso empírico del número áureo, los textos escritos que tratan de sus propiedades, o más bien de las figuras geométricas asociadas a él, sólo aparecieron con los griegos.
Euclides, Pitágoras y muchos otros dieron rigor matemático a la noción de número áureo.
Tres siglos antes de nuestra era, Euclides, con sus "Elementos", hizo una importante aportación en este campo en forma de demostración geométrica: construcción de un triángulo isósceles con cada uno de los ángulos de la base duplicado por el ángulo restante (es decir, en este famoso triángulo isósceles cada uno de los ángulos de la base vale 72 grados y el ángulo del vértice es igual a 36 grados)
Obsérvese también que 72 grados es la quinta parte de 360 grados y 36 grados la décima parte de 360 grados: ángulos que se encuentran en el pentágono regular.
Euclides dedujo de este triángulo la construcción del pentágono regular, observando que las diagonales de este pentágono se cruzan en el centro y en el extremo derecho y que la relación entre diagonal y lado es igual a Phi. Termina sus "Elementos" con la inscripción en una esfera de los cinco cuerpos regulares platónicos: tetraedro, octaedro, hexaedro (cubo), icosaedro y dodecaedro.
En el siglo XV, en el libro de los "Elementos" de Euclides fueron retomados por Luca Pacioli, un monje
Su libro trata de la arquitectura, las proporciones del cuerpo humano y las letras del alfabeto
La proporción áurea en el siglo XX
En 1931, Matila Ghyka escribió un libro muy importante sobre el Número de Oro.
El hombre de Vitruvio y la proporción áurea
Un dibujo realizado hacia 1490, Proporzioni del Corpo Umano Secondo
Vitruvio (Las proporciones del cuerpo humano según Vitruvio), se encuentra
en las proporciones humanas ideales imaginadas por el arquitecto e ingeniero
militar romano Vitruvio. En el libro III de su tratado De architectura, Vitruvio
menciona que la figura humana es la principal fuente de proporción en la
arquitectura, siendo el cuerpo ideal de ocho cabezas:
Es una obras más famosas de Leonardo. En el centro del cuerpo está
naturalmente en el ombligo. En efecto, si un hombre se acuesta de
espaldas con las manos y los pies extendidos, si una de las ramas de
un compás se apoya en el ombligo, la otra, describiendo una línea circular,
tocará los dedos de los pies y de las manos. Y como se puede figurar un círculo con el cuerpo así extendido, también se puede encontrar un cuadrado en él: pues si tomamos la medida que se encuentra entre las extremidades de los pies y la parte superior de la cabeza, y la relacionamos con las de los brazos abiertos, veremos que la anchura responde a la altura como en un cuadrado hecho con una escuadra." Vitruvio midió todo el cuerpo humano en fracciones enteras de la altura de un hombre.
El hombre de Vitruvio también presenta unas dimensiones que sugieren una relación del Número de Oro. Entre la parte superior de la frente y la planta de los pies, los siguientes órganos se sitúan en puntos del Número de Oro : - El ombligo (más a menudo asociado a un Número de Oro de la altura total); Los pezones; Las clavículas. En cuanto a la distancia entre el codo y la punta de los dedos, la base de la mano comienza en el punto de la sección dorada.
Los cocientes de los números sucesivos de la secuencia de Fibonacci convergen rápidamente a Phi.
A partir del número 40 de la secuencia, la relación es precisa con 15 decimales.
En la naturaleza, hay un gran número de flores con 5 pétalos distribuidos regularmente.
En el corazón del girasol se entrelazan dos redes de espirales, cada una de las cuales se enrolla en una dirección.
Estas espirales, llamadas "parásitos", tienen una particularidad: sus números son iguales a dos términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci iguales a 21 y 34, 34 y 55 o 55 y 89.
Vitruvio (Las proporciones del cuerpo humano según Vitruvio), se encuentra
en las proporciones humanas ideales imaginadas por el arquitecto e ingeniero
militar romano Vitruvio. En el libro III de su tratado De architectura, Vitruvio
menciona que la figura humana es la principal fuente de proporción en la
arquitectura, siendo el cuerpo ideal de ocho cabezas:
naturalmente en el ombligo. En efecto, si un hombre se acuesta de
espaldas con las manos y los pies extendidos, si una de las ramas de
un compás se apoya en el ombligo, la otra, describiendo una línea circular,
tocará los dedos de los pies y de las manos.
Y como se puede figurar un círculo con el cuerpo así extendido, también se puede encontrar un cuadrado en él: pues si tomamos la medida que se encuentra entre las extremidades de los pies y la parte superior de la cabeza, y la relacionamos con las de los brazos abiertos, veremos que la anchura responde a la altura como en un cuadrado hecho con una escuadra." Vitruvio midió todo el cuerpo humano en fracciones enteras de la altura de un hombre.
El hombre de Vitruvio también presenta unas dimensiones que sugieren una relación del Número de Oro. Entre la parte superior de la frente y la planta de los pies, los siguientes órganos se sitúan en puntos del Número de Oro : - El ombligo (más a menudo asociado a un Número de Oro de la altura total); Los pezones; Las clavículas. En cuanto a la distancia entre el codo y la punta de los dedos, la base de la mano comienza en el punto de la sección dorada.
Los cocientes de los números sucesivos de la secuencia de Fibonacci convergen rápidamente a Phi.
A partir del número 40 de la secuencia, la relación es precisa con 15 decimales.
En la naturaleza, hay un gran número de flores con 5 pétalos distribuidos regularmente.
En el corazón del girasol se entrelazan dos redes de espirales, cada una de las cuales se enrolla en una dirección.
Estas espirales, llamadas "parásitos", tienen una particularidad: sus números son iguales a dos términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci iguales a 21 y 34, 34 y 55 o 55 y 89.
dorado, dentro del cual hay muchos triángulos que contienen Phi, incluyendo la relación entre la altura de la
cara triangular y la mitad del lado de la base cuadrada que es igual a la raíz de Phi. En los números románicos
y góticos, Phi es omnipresente.
La proporción áurea en el arte
como en otras iluminaciones de este periodo, observamos que el artista ha introducido involuntariamente
en su icono, proporciones o ángulos relacionados con el Número Áureo.
Esta presencia puede ser natural, inconsciente o inteligentemente calculada.
Existen otras proporciones armoniosas en la naturaleza y en la producción humana, pero la Divina Proporción
es ciertamente la que más ha inspirado, y desde la más remota antigüedad, al hombre a buscar la belleza
en armonía consigo mismo y con la naturaleza.
La proporción áurea en el diseño de logotipos y productos
en el diseño de muchos objetos. Por ejemplo, muchos instrumentos de cuerda presentan proporciones
de proporción áurea, como los famosos violines Stradivarius. Reconocidos por la calidad de su madera,
su construcción y su sonido, estos codiciados violines se venden en subastas por millones de dólares.
diseño de su marca y su logotipo, ya que éstos deben captar en un instante el corazón y la mente del mayor
número posible de clientes potenciales. He aquí algunos ejemplos:
.
La proporción áurea y el análisis bursátil
evaluaciones y expectativas humanas. Un estudio del psicólogo matemático Vladimir Lefebvre
demostró que los humanos presentan evaluaciones positivas y negativas de las opiniones que
tienen en una proporción que se aproxima a phi, con un 61,8% de positivas y un 38,2% de negativas.
celulares (reglas subyacentes que determinan un fenómeno aparentemente aleatorio) en el que
afirmaba que "este armazón puede contener el secreto del comportamiento bursátil, los ordenadores
pensantes y el futuro de la ciencia".
explicando que los seres humanos, como parte de la naturaleza, crean relaciones geométricas perfectas
en su comportamiento, al igual que una araña teje una tela geométricamente perfecta sin ser consciente
de su increíble hazaña. Esta empresa de investigación aplica las espirales logarítmicas que se encuentran
en las conchas con relaciones dinámicas en 3D para vincular un movimiento del mercado con otros.
puntos de resistencia de los precios como para que añadir esta herramienta al análisis técnico del mercado
pueda ayudar a identificar los retrocesos de Fibonacci, los principales puntos de inflexión en los movimientos
de los precios.
lectura no lo abarca todo. Estas llamado para que puedas investigar por ti mismo el uso práctico en la vida
real. En la internet, los libros de matemáticas y ciencia, revistas, periódicos puedes encontrar información
relevante acerca de este tema.
Para concluir debes de responder a unas preguntas para tu trabajo. Estas son:
1) ¿Qué relación matemática guarda el número de oro (Phi) con la sucesión de Fibonacci?
2) ¿De acuerdo a la lectura. Menciona 4 ejemplos de patrones que se dan en la naturaleza?
de la sucesión del término dado y Calcula la serie de la sucesión para los 4 ejercicios siguientes:
